Matematica, Anno Accademico 2004-2005, Scienze Geologiche P. Acquistapace, V.M. Tortorelli Soluzioni alle domande del del 5 ottobre 2004

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Si completino le eguaglianze seguenti: A) 4^{2} = …; B) 4^{−2} = …; C) 4^{1/2} = …; D) 4^{−1/2} = ….

SOLUZIONE: 16, \frac{1}{16}, 2, \frac{1}{2} ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Sapendo che log_{10} x^{2} > 0 quali sono tra le seguenti le affermazioni corrette? A) x > 1; B) x = 1; C) 0 < x < 1; D) x < 0. Risposta: A: per definizione il logaritmo in una data base è l’esponente che bisogna dare alla base per ottenere l’argomento. Essendo 10 > 1 una sua potenza positiva è ancora maggiore di 1, così come la sua radice quadrata. ————————————————————————————————————————— ESERCIZIO n. 3 Sapendo che due elevato alla decima è eguale a milleventiquattro, dire se è vero o falso che due elevato alla ventinovesima è maggiore di dieci elevato alla nona. Risposta: falso: 2^{29} = 2^{9}(1024)^{2}, 10^{9} = 2^{9}5^{9} quindi basta confrontare (1024)^{2} con 5^{9}: 5^{9} = 5 · 5^{8} = 5(5^{4})^{2} quindi basta confrontare 1024 con \sqrt{5} · 5^{4} = \sqrt{5} · 625 > 2 · 625 = 1250 > 1024. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Se a − b ≠ 0, l’espressione \frac{a^{2}−ba}{a^{2}−b^{2}} è equivalente a quale tra le seguenti altre espressioni?

A) 1 − \frac{a}{b}; B) −\frac{a}{b}; C) \frac{a}{a−b}; D) 0; E) \frac{1+a}{1−b}. Risposta: nessuna: raccogliendo a al numeratore, osservando che a^{2} − b^{2} = (a − b)(a+), e quindi semplificando a − b il risultato è \frac{a}{a+b}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 La disequazione \frac{x^{4}−1}{x−2} < 0 è soddisfatta per quali tra i seguenti valori di x?

A) x < 1; B) −1 < x < 1; C) x < −1; D) x < −1 o 1 < x < 2;. Risposta: C, D denominatore e numeratore devono avere segni discordi. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Quante colonne diverse che non diano tutte lo stesso risultato si possono giocare al Totocalcio? (Ricordiamo che vi sono tre simboli da disporre in una colonna di tredici elementi) A) 3^{13} − 13; B) 3 · 13^{3} − 3; C) 13^{3} − 3; D) (3^{12} − 1)3. Risposta: D, le “giocate possibili” sono 3^{13}, le giocate che danno un solo risultato per tutte le partite sono 3. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Qual è il più grande tra i numeri: A) −23; B) −\frac{1}{5}; C) −\frac{2}{9}; D) −1? Risposta: B essendo numeri negativi il più grande è quello che “dista meno” da 0. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Un esame è costituito da una prova scritta e da una prova orale. Il 60% dei candidati ha superato lo scritto e tra questi il 70% ha superato anche l’orale. Determinare la percentuale, sul totale dei candidati, di coloro che hanno superato lo scritto ma non l’orale. Risposta: 18% si tratta del 30% del 60%: \frac{3}{10} · \frac{6}{10} = \frac{18}{100}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 In figura è rappresentato schematicamente il grafico di una delle seguenti funzioni. Quale? (figura non riprodotta sul server: segmento che sale in verticale più di quanto si sposti in orrizzontale, che incontra l’asse orizzontale di riferimento a sinistra dell’ intersezione di quast’ultimo con l’altro asse perpendicolare di riferimento)

Risposta: D la prima non è una retta, la seconda passa per l’origine, la terza ha tutte e due queste caratteristiche, la quarta è una retta che non passa per l’origine con pendenza maggiore di 1 e interseca l’asse orizzontale . ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 L’area del triangolo di vertici A = (1, 2), B = (3, 4), C = (4, 3), è: A) 2\sqrt{2}; B) 3; C) \frac{1}{2}; D) 1? Risposta: nessuna l’area è 2 e si può calcolare sottraendo all’area del rettangolo, contenente il triangolo dato e con lati lunghi quanto le proiezioni del triangolo sugli assi, le aree dei triangoli rettangoli, con cateti paralleli agli assi, che avanzano. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Dire se è possibile costruire un triangolo con i lati lunghi rispettivamente: 1, 2, 4. Risposta: NO il cammino più corto tra due punti è il segmento che li congiunge. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 Un angolo misura 50^{∘}. Quale, tra le seguenti, è la sua misura in radianti? A) \frac{1}{9}π; B) \frac{5}{18}π; C) \frac{2}{9}; D) \frac{9}{2}π. Risposta: B 50^{∘} sta alla sua misura in radianti come 189^{∘} sta a π. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 13 Quale delle seguenti affermazioni è corretta? A) sin 1 = 0; B) sin 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}; C) sin 1 = \frac{π}{2}; D) sin 1 non ha senso ; E) sin 1 = \frac{1}{2 cos 1} sin 2. Risposta: E deriva da sin 2x = 2 sin x cos x con x = 1. Le altre sono false. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 14 Si consideri la curva determinata dall’ equazione y = −x^{2} − x − 1. Dire quali di questi punti giacciono su tale curva: A) (1, −1); B) (−1, −1); C) (−1, 1); D) (1, 1). Risposta: B per verifica diretta sostituendo di volta in volta le componenti della coppia ordinata (x, y) nell’espressione. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 15 La pendenza della retta passante per i punti (2, 1) e (1, 3) è: A) -2; B) −\frac{4}{3}; C) \frac{1}{2}; D) 2? Risposta: A: tre meno uno diviso uno meno due. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 16 I primi 1000 Km di un viaggio in treno vengono fatti pagare di più . Quale delle seguenti formule permette di calcolare il costo del biglietto per viaggi superiori a 1000 Km, indicando con x la lunghezza del viaggio? A) 700 + 0.05 · x; B) 700 + 0.05 · (x − 1000); C) 0.7 · x + 0.05 · x; D) 0.7 · (x − 1000) + 0.05 · x. Risposta: A, B: si sottointendono tre assunzioni usate comunemente: la prima che il prezzo per una tratta di 1000 Km non varia se si fa un viaggio superiore ai 1000 km o se si fa un viaggio di esattamente 1000 km, la seconda che per ogni fascia di percorrenza il prezzo cresce proporzionalmente alla lunghezza del percorso, e che per 0 km non si paga nulla.

Ciò osservato il diagramma km-→, prezzo-↑ deve essere fatto da due pezzi di retta: la prima che parte dall’origine e si ferma quando raggiunge in orrizzontale x=1000 Km. La seconda parte dal punto di arrivo della prima con un inclinazione strettamente minore.

Le espressioni date riguardano questo secondo tratto x> 1000. Quelle che vanno bene sono quelle che permettono di avere un primo tratto con le caratteristiche evidenziate. NOTA: da un punto di vista non matematico, di “trasparenza”, la risposta B è migliore: in quanto con il minimo di conto evidenzia quale sia il prezzo per km prima dei 1000 (\frac{700}{1000} = 0.7) e dopo i mille (0.05).