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\begin {document}

\centerline{\bf  Matematica, Anno Accademico 2004-2005, 
Scienze Geologiche } \\

\centerline{P. Acquistapace, V.M. Tortorelli}



\centerline{Soluzioni alle domande del del 5 ottobre 2004}


%\noindent Programma e materiale relativo al corso 
% essere reperito in rete 
% selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale
%Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando 
%ALTRI CORSI DI LAUREA e Corso di laurea *****
\medskip


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ESERCIZIO n. 1 Si completino le eguaglianze seguenti:
 ~{A)}~~$4^2=\dots$~;~~ {B)~~}$4^{-2}=\dots$~;~~ {C)}~~$4^{1/2}=\dots$~;
~~ {D)~~}$4^{-1/2}=\dots$~.

{\bf SOLUZIONE: $16, ~\frac 1{16},~ 2,~\frac 12$}

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ESERCIZIO n. 2 Sapendo che $\log_{10}x^2>0$ quali sono tra le seguenti le affermazioni
corrette?
{A)} $x>1$;~~
{B)~~} $x=1$;~~
{C)~~} $0<x<1$;~~
{D)~~} $x<0$.

\noindent {\bf Risposta:} {\bf A:} per definizione il logaritmo in una data base \`e l'esponente 
che bisogna dare alla base per ottenere l'argomento. Essendo $10>1$ una sua potenza positiva \`e 
ancora maggiore di $1$, cos\`\i \ come la sua radice quadrata. 

 

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ESERCIZIO n. 3 Sapendo che due elevato alla decima \`e eguale a milleventiquattro,
 dire se \`e vero o falso
 che
 due elevato alla ventinovesima \`e maggiore di dieci elevato alla nona.




\noindent {\bf Risposta:} {\bf falso:} $2^{29} =2^9 (1024)^2, ~10^9=2^9 5^9$ 
quindi basta confrontare $(1024)^2$ con $5^9$: $5^9 =5\cdot 5^8=5 (5^4)^2$ quindi 
basta confrontare $1024$ con $\sqrt{5}\cdot 5^4= \sqrt{5}\cdot 625 
> 2\cdot 625= 1250> 1024$.



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ESERCIZIO n. 4 Se $a-b\not=0$, l'espressione ${a^2-ba\over a^2-b^2}$ \`e equivalente a
quale tra le seguenti altre espressioni?
\smallskip

{A)~~} $1-{a\over b}$;
~~{B)} $-{a\over b}$;~~{C)~~} ${a\over a-b}$;~~{D)~~} $0$;
~~{E)~~} ${1+a\over 1-b}$.

\noindent {\bf Risposta:} {\bf nessuna}: raccogliendo $a$ al numeratore, osservando  che $a^2-b^2=(a-b)(a+)$, e quindi semplificando $a-b$ 
il risultato \`e $\frac{a}{a+b}$.


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ESERCIZIO n. 5 La disequazione ${x^4-1\over x-2}<0$ \`e soddisfatta per quali tra i
seguenti valori di $x$?

{A)} ~~$x<1$;~~{B)~~} $-1<x<1$;~~{C)} $x<-1$;~~{D)~~} $x<-1$ o $1<x<2$;.

\noindent {\bf Risposta:} {\bf  C, D} denominatore e numeratore devono avere segni discordi.

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ESERCIZIO n. 6 Quante colonne diverse che non diano tutte lo stesso risultato
 si possono giocare al Totocalcio? (Ricordiamo
che vi sono tre simboli da disporre in una colonna di tredici
elementi)~~{A)~~} $3^{13}-13$;~~{B)~~} $3\cdot13^{3}-3$;~~{C)~~} $13^3-3$;~~
{D)~~} $(3^{12}-1)3$.


\noindent {\bf Risposta:} {\bf D}, le ``giocate possibili'' sono $3^{13}$, le giocate 
che danno un solo risultato per tutte le partite sono $3$.



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ESERCIZIO n. 7 Qual \`e il pi\`u grande tra i  numeri:
~~{A)~~} $-23$;~~{B)~~} $-{1\over 5}$;~~{C)~~} $-{2\over 9}$;~~{D)~~} $-1$?


\noindent {\bf Risposta:} {\bf B} essendo numeri negativi il pi\`u grande \`e quello 
che ``dista meno'' da $0$.


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ESERCIZIO n. 8 Un esame \`e costituito da una prova scritta e da una prova orale. Il
60\% dei candidati ha superato lo scritto e tra questi il 70\% ha
superato anche l'orale. Determinare la percentuale, sul totale 
 dei
candidati, di coloro che hanno superato lo scritto ma non 
 l'orale.


\noindent {\bf Risposta:} {\bf 18\% } si tratta del 30\% del 60\%: 
$\frac 3{10}\cdot\frac 6{10}=\frac {18}{100}$.




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ESERCIZIO n. 9 In figura \`e rappresentato schematicamente il grafico di una delle 
 seguenti funzioni. Quale? (figura non riprodotta sul server: segmento che sale in verticale pi\`u di quanto 
si sposti in orrizzontale, che incontra l'asse orizzontale di riferimento  
 a sinistra dell' intersezione di quast'ultimo con l'altro asse perpendicolare di riferimento)

%\centerline{\includegraphics[height=2cm]{MG05-fig1ese0}}
%{A)} $y=6x^2+x$;~~{B)~~} $y=2x$;~~{C)~~} $y=x^3$;~~{D)~~} $y=2x +2$.

\noindent {\bf Risposta:} {\bf D} la prima non \`e una retta, la seconda passa per l'origine, 
la terza ha tutte e due queste caratteristiche, la quarta \`e una retta che non passa per 
l'origine con pendenza maggiore di 1 e interseca l'asse orizzontale .




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ESERCIZIO n. 10 L'area del triangolo di vertici $A=(1,2),\ B=(3,4),\  C=(4,3),\ $
 \`e:
{A)} ${2{\sqrt 2}}$;~~{B)~~} $3$;~~
{C)~~} ${1\over2}$;~~{D)~~} $1$?

\noindent {\bf Risposta:} {\bf nessuna} l'area \`e 2 e si pu\`o calcolare 
sottraendo all'area del rettangolo, contenente il triangolo dato e
 con lati lunghi quanto le proiezioni del triangolo sugli assi, le aree dei 
triangoli rettangoli, con cateti 
paralleli agli assi, che avanzano.


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ESERCIZIO n. 11 Dire se \`e possibile costruire un triangolo con i lati lunghi
rispettivamente:~
1,\ 2,\ 4.


\noindent {\bf Risposta:} {\bf NO} il cammino pi\`u corto tra due punti \`e il 
segmento che li congiunge.


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ESERCIZIO n. 12 Un angolo misura $50^\circ$. Quale, tra le seguenti, \`e la sua misura
in radianti?
{A)} ${1\over9}\pi$;~~{B)~~} ${5\over 18}\pi$;~~{C)~~} 
${2\over9}$;~~{D)~~} ${9\over2}\pi$.


\noindent {\bf Risposta:} {\bf B} $50^\circ$ sta alla sua misura in radianti come $189^\circ$ sta a $\pi$.



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ESERCIZIO n. 13 Quale delle seguenti affermazioni \`e 
 corretta? ~~{A)~~}$\sin1=0$;
~~{B)~~}$\sin1={\sqrt3\over2}$;~~
~~{C)~~}$\sin1={\pi\over2}$;
~~{D)~~}$\sin1$ non ha senso
;~~{E)~~} $\sin 1 =\frac{1}{2 \cos 1}\sin 2$.

\noindent {\bf Risposta:} {\bf E} deriva da $\sin 2x= 2\sin x \cos x$ con $x=1$. 
Le altre sono false.



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ESERCIZIO n. 14 Si consideri la curva determinata dall' equazione $y=-x^2-x-1$. 
Dire quali di questi punti giacciono su tale curva:~~{A)~~}$(1,-1)$;~~
{B)~~}$(-1,-1)$;
~~{C)~~}$(-1,1)$;
~~{D)~~}$(1,1)$.


\noindent {\bf Risposta:} {\bf B} per verifica diretta sostituendo di volta in 
volta le componenti della coppia ordinata $(x,y)$  
nell'espressione.


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ESERCIZIO n. 15 La pendenza della retta passante per i punti $(2,1)$ e $(1,3)$ \`e:
~{A)~} -2;~{B)~} $-{4\over3}$;
~{C)~} ${1\over2}$;~{D)~} 2?

\noindent {\bf Risposta:} {\bf A:} tre meno uno diviso uno meno due.


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ESERCIZIO n. 16 I primi 1000 Km di un viaggio in treno vengono fatti pagare 
 di pi\`u .
%Il grafico descrive il prezzo del biglietto del treno in funzione 
% del chilometraggio percorso.
% \vbox to 2cm{\vfill}
 Quale delle seguenti formule permette di calcolare il costo del
 biglietto per viaggi superiori a 1000 Km, indicando con $x$ la
 lunghezza del viaggio?
 {A)} $700+0.05\cdot x$;~~{B)~~} $700+0.05\cdot (x-1000)$;
 ~~{C)~~} $0.7\cdot x+0.05\cdot x$;
 ~~{D)~~} $0.7\cdot (x-1000)+0.05 \cdot x$.


\noindent {\bf Risposta:} {\bf A, B:} si sottointendono tre assunzioni 
 usate comunemente: la prima che il prezzo per una tratta di 1000 Km non varia
se si fa un viaggio superiore ai 1000 km o se si fa un viaggio di esattamente 1000 km, la seconda che per ogni fascia di percorrenza 
il prezzo cresce proporzionalmente alla lunghezza del percorso, e che per $0$ km non si paga nulla.

Ci\`o osservato il diagramma km-$\rightarrow$, prezzo-$\uparrow$ deve essere fatto da due pezzi di retta:
la prima che parte dall'origine e si ferma quando raggiunge in orrizzontale 
x=1000 Km. La seconda 
parte dal punto di arrivo della prima con un inclinazione strettamente minore.

Le espressioni date riguardano questo secondo tratto x$>$ 1000. Quelle che vanno bene sono quelle che permettono di avere 
un primo tratto con le caratteristiche evidenziate. 

\noindent {\bf NOTA:} da un punto di vista non matematico, di ``trasparenza'', 
la risposta B \`e migliore:  
in quanto con il minimo di conto evidenzia 
quale sia il prezzo per km prima dei 1000 ($\frac{700}{1000}=0.7$) e 
dopo i mille ($0.05$).


\end{document}
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ESERCIZIO n. 17


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ESERCIZIO n. 18
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ESERCIZIO n. 19
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ESERCIZIO n. 20
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\end{document}






