Matematica, Anno Accademico 2004-2005, Scienze Geologiche P. Acquistapace, V.M. Tortorelli

I foglio di esercizi: V.M. Tortorelli dal 5 ottobre 2004 al 12 ottobre 2004

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Si verifichino le seguenti identità:

(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy, x^{2} − y^{2} = (x − y)(x + y),

x^{3} − y^{3} = (x − y)(x^{2} + xy + y^{2}), x^{3} + y^{3} = (x + y)(x^{2} − xy + y^{2})

\frac{x}{x−2} = 1 + \frac{2}{x−2}, \frac{x^{3}−8}{x^{2}−1} = x + \frac{x−8}{x^{2}−1} ————————————————————————————————————————– DEFINIZIONE: dato y ∈ R si dice che x ∈ R è la sua radice quadrata se:

1) x ≥ 0,

2) x^{2} = y. Si scrive x = \sqrt{y}. TEOREMA: Ogni numero reale non negativo ha un’unica radice quadrata. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Si provi che :

- un numero reale negativo non ha radice quadrata;

- il numero \sqrt{2} non è razionale (rapporto di numeri interi). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 - Dati a, b, c, con a > 0, si trovino in dipendenza i tre numeri dati altri tre numeri α, β, γ per cui:

ax^{2} + bx + c = (αx + β)^{2} + γ

- Si tovi una formula risolutiva per le soluzioni reali dell’equazione ax^{2} + bx + c = 0, e si dica quando ha senso.

- Si verifichi che se x^{2} + sx + p = 0 allora s è ‘meno la somma delle soluzioni’ e p ‘il prodotto delle soluzioni’. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Si disegnino i sottoinsiemi di R dati da

\{x ∈ R : x^{2} + 3x − 10 > 0\}, \{x ∈ R : \frac{x^{3}+27x}{x−10} > 0\}, \{x ∈ R : \sqrt{3x + 1} − \sqrt{2x + 3} > 0\} ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Si disegnino i sottoinsiemi del piano, identificato con R^{2} (l’insieme delle coppie di numeri reali), rispettivamente definiti da ciascuna delle seguenti condizioni:

(x, y) ∈ R^{2} : x + y + 3 = 0, x^{2} − y^{2} = 0, x^{2} + y^{2} = 0, (x + y)^{2} = 1, (x + y)^{2} = 0, x^{2} + y^{2} = 4, x^{2} = y, x^{2} − y^{2} = 1, 4x^{2} + y^{2} = 1 ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 - Si scriva l’equazione che determina (come luogo di zeri) la retta passante per il punto di coordinate (1, 1)e per il punto (3, 4).

- Si scriva l’equazione che definisce la retta per (1, 1) e con direzione parallela a (1, 2).

- Si scriva l’equazione della retta passante per (1, 1) e che dista 1 dall’origine (0, 0).

- Si trovino l’equazioni delle rette per il punto (1, 1) e che toccano il sottoinsieme del piano definito dalla condizione x^{2} + y^{2} = 1 in un solo punto.

- Si trovi l’equazione che individua la retta che tocca l’insieme definito da y = x^{2} solo nel punto di coordinate (1, 1).

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Si scrivano le rette del precedente esercizio come immagini di funzioni da R in R^{2}: t ↦ (a, b) + t(c, d).

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 - Si provi che la somma dei primi n numeri naturali 1 + 2 + … + n è \frac{n(n+1)}{2} - Si provi 1 + x + … x^{n−1} = \frac{1−x^{n}}{1−x} , e quindi generalizzando la prima parte dell’ esercizio 1 si mostri che : x^{n} − y^{n} = (x − y)(x^{n−1} + x^{n−2}y + ... + x^{n−k−1}y^{k} + ... + y^{n−1}).

( Che dire su x^{n} + y^{n}?) ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.9 Si denoti con n! il prodotto dei primi n numeri interi. Si provi n! ≤ n^{n}. Si provi anche n^{n} ≤ \frac{(2n)!}{n!}.

————————————————————————————————————————– - Se n è un numero naturale la sua scrittura in base 10 è r_{0} +r_{1} ·10+r_{2} ·100+…+r_{k} ·10^{k} = n ove 0 ≤ r_{0}, r_{1} … < 10, sono rispettivamente r_{0} il resto della divisione di n per 10, r_{2} il resto della divisone per 10 del quoziente prima ottenuto etc. . -Analogamente si esprimono i numeri naturali in base b, ove b è un altro numero naturale, con i resti delle divisioni per b dei successivi quozienti a partire da n. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.10 - Si scriva 100 in base 2. In base decimale a cosa corrisponde la scrittura 100 in base 2? Si provi che un numero è divisibile per 9 se e solo se la somma delle cifre della sua espresione decimale è anch’essa divisibile per 9. [ 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 etc. . ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Dato x ∈ R si definisce parte intera di x l’unico numero n intero x−1 < n ≤ x. Se c_{0} = [x], c_{n} = [10^{n}(x−c_{0})−10^{n−1}c_{1} …−10c_{n−1}] allora x = c_{0}+\frac{c_{1}}{10}+\frac{c_{2}}{100}+… = c_{0}, c_{1}c_{2}c_{3} . . .. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 12 - Si provi che \sqrt{xy} ≤ \frac{x+y}{2}, se x, y ≥ 0 e se ne dia un’interpretazione geometrica.