Matematica, Anno Accademico 2004-2005, Scienze Geologiche P.Acquistapace e V.M. Tortorelli

X foglio di esercizi: V.M. Tortorelli dall’ 11 gennaio 2005 al 13 gennaio 2005

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Stabilre se i seguenti integrali impropri sono convergenti:

∫_{0}^{∞} \frac{x^{α−1}}{1 + x}dx , ∫_{0}^{∞} \frac{(2 + cos x) log x}{x^{α}}dx (al variare del parametro α ∈ R) ,

∫_{1}^{∞} \frac{e^{x} arctan x}{((2x)^{x} − 1)^{2}} dx , ∫_{0}^{∞} (1 − \sqrt{\frac{t}{t + 1}}) dt , ∫_{1}^{∞} \frac{e^{−x^{2}}x^{x} − e^{x−2}}{1 − x^{x}} dx ,

∫_{1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{x^{3} − x^{2}}} dx , ∫_{0}^{π} \frac{1}{log(cos x^{2})^{\frac{1}{3}}} dx , ∫_{1}^{∞} ((x^{8} − 1)^{− \frac{1}{9}} − x^{− \frac{8}{9}} ) dx.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Si studi l’integrabilità, e quindi la convergenza degli integrali, al variare

dei parametri reali α e β delle funzioni: \frac{1}{x^{α}| log |x||^{β}}, su ognuno dei domini ]0; \frac{1}{2}], [\frac{1}{2}; 1[, ]1; \frac{3}{2}],

[\frac{3}{2}; +∞[. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 3 Si studi l’integrabilità, e quindi la convergenza degli integrali, delle seguenti funzioni sui rispettivi domini:

\frac{\sqrt{1 − cos x}}{x log(1 + \sqrt{x})} , x ∈]0; 1[ ; \frac{1 − (cos x)^{\frac{1}{4}} + log(1 + x^{\frac{1}{2}} )}{(sin x + 1 − e^{\frac{x}{2}} )^{\frac{1}{2}}} , x ∈]0; 1] ;

\frac{arctan x}{((2x)^{x} − 1)^{2}} , 0 < x < \frac{1}{2} ; \frac{1}{sin \frac{1}{x}} − \frac{1}{log(x + 1) − log x} , x > 1 ;

\frac{1}{\frac{π}{2} − arsinx} , x ∈]0; 1[ ; \frac{1}{1 − | cos(x^{α})|} , x ∈]0; π[ (al variare del parametro α ∈ R) .

————————————————————————————————————————– ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Studiare la convergenza delle serie: ∑ sin \frac{1}{n}, ∑ cos \frac{1}{n}−1, ∑ \frac{log n}{n^{3}}, ∑ \frac{1}{(log n)^{log n}}

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Studiare la convergenza delle serie: ∑ \frac{n^{n+1}n!(n+2)!}{(3n−1)!}, ∑ \frac{3n·n^{n−3}n!(n−2)!}{(3n+1)!}, ∑ \frac{n^{n}n!(2n−2)!}{(4n+1)!}, ∑ \frac{n^{n}}{(n!)^{2}} .

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Studiare la convergenza delle serie: ∑ \frac{(−1)^{n}}{40^{\frac{1}{n}}} , ∑ \frac{(−1)^{n}}{log n} , ∑ 2^{− log n} cos πn, .

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 a) Si provi mediante integrazione per parti e confronto che \frac{sin x}{x} ha integrale in senso improprio su ]0; +∞[ finito.

b) Si provi che se x ↦ g(x) è una funzione defimita su [0; +∞[, decrescente ed infinitesima per x → +∞, e quindi non negativa, allora la funzione g(x) sin x ha integrale in senso improprio su [0; +∞] finito.

c) Che dire sull’integrale improprio di |g(x) sin x|?

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Si studi l’integrabilità in senso improprio, ed eventualmente la convergenza degli integrali, su ]0; +∞[ delle funzioni sin(x^{2}), (sin π (x + \frac{1}{x}))^{2} e sin π (x + \frac{1}{x}).

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 Studiare il dominio e il comportamento asintotico agli estremi dello stesso delleseguenti funzioni x ↦ f(x):

∫_{2x−3}^{x+5} \frac{te^{t−1}}{2t − 7}dt ; ∫_{0}^{x^{2}} \frac{sin t}{\sqrt{1 − t^{2}}} dt ; ∫_{0}^{tan x} \frac{cos t}{1 + t^{2}} dt .

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 Posto F (x) = ∫_{0}^{x} f(t) dt, si studi il limite del rapporto \frac{F (x)}{f(x)}, x → +∞,

nei seguenti casi:

f(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} , f(x) = e^{x} , f(x) = xe^{x^{2}} , f(x) = log x .

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Si consideri Γ(α) = ∫_{0}^{+∞} e^{−x}x^{α−1}dx, α > 0. Si provi che è ben definito e quindi che Γ(n) = (n − 1)! per n ∈ N.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 Si considerino gli integrali

\frac{1}{3}T (κ) = ∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 − t^{2}} · \sqrt{1 − κ^{2}t^{2}}} dt , κ ∈ [0; 1[.

a) Si calcoli T (0) e si provi che per ogni κ ∈ [0; 1[ tali integrali sono finiti.

b) Si studi al variare di α ∈ R il comportamento di (T (κ) − T (0)) · κ^{−α} per κ → 0.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 13 ∗ Si provi che ∑ sin n non converge. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 14 Per quali x ∈ R convergono rispettivamente le serie: ∑(−2)^{n}e^{−nx}, ∑ \frac{n}{n+1}(x − 1)^{n}, ∑ \frac{(n!)^{3}x^{n}}{n(3n)!} , ∑ \frac{n}{x^{2}+n^{x}}. ————————————————————————————————————————–