\documentstyle [12pt]{article}
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\newcommand{\R}{{\bf R}}
\newcommand{\N}{{\bf N}}
\begin {document}

\centerline{\bf  Matematica, Anno Accademico 2004-2005, 
Scienze Geologiche} \\

\centerline{P.Acquistapace e  V.M. Tortorelli}

\medskip

\centerline{X foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} 

\centerline{dall' 11 gennaio 2005 al 13 gennaio 2005}
\medskip

%\noindent Programma e materiale relativo al corso 
% essere reperito in rete 
% selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale
%Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando 
%ALTRI CORSI DI LAUREA e Corso di laurea *****




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ESERCIZIO n. 1 Stabilre se i seguenti integrali impropri sono convergenti:
\medskip

$\displaystyle{
\int_0^\infty\frac {x^{\alpha -1}}{1+x}dx ~,~
\int_0^\infty\frac {(2+\cos x)\log x}{x^\alpha}dx~~
~\hbox{\rm (al~variare ~del~
parametro}~\alpha\in {\bf R}{\rm )}~,}$
\medskip

$\displaystyle{ 
\int_1^\infty \frac{e^x\arctan x}{ ((2x)^x -1)^2}\, dx
~,~~
\int_0^\infty \left(1-\sqrt{\frac t{t+1}}\right) dt~,~~
\int_1^\infty \frac {e^{-x^2}x^x -e^{x-2}}
{1 -x^x}dx~,~~}$
\medskip


$\displaystyle{
\int_1^\infty \frac 1 {\sqrt{x^3 -x^2}} dx ~,~~
\int_0^{\pi} \frac 1{\log (\cos x^2)^{\frac 13}} dx ~,~~
\int_1^\infty \left((x^8 -1)^{-\frac 19} - x^{-\frac 89} \right)dx.}$



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ESERCIZIO n. 2 Si studi l'integrabilit\`a, e quindi la convergenza degli integrali, al variare dei
parametri reali $\alpha$ e $\beta$ delle funzioni: 
$\displaystyle{\frac 1{ x^\alpha |\log |x||^\beta}}$, 
 su ognuno dei domini $]0;\frac 12]$, $[\frac 12 ; 1[$, $]1;\frac 32]$, $[\frac 32 ;
+\infty[$. 

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ESERCIZIO n. 3 Si studi l'integrabilit\`a, e quindi la convergenza degli integrali,
 delle seguenti funzioni sui rispettivi domini:
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$\displaystyle{\frac{\sqrt{1-\cos x}}{x\log (1+\sqrt x)}~,~~x\in]0;1[~;~~
\frac {1-(\cos x )^{\frac 14}  ~+~\log (1+ x^{\frac 12})}{ (\sin x +1-
e^{\frac x2})^{\frac 12}}~,~~ x\in ]0;1]~;~~
}$
\medskip

$\displaystyle{
 \frac{\arctan x}{ ((2x)^x -1)^2}~,~~0<x<\frac 12~;~~
\frac 1{\sin
\frac 1x} - \frac 1{\log (x+1) - \log x}
~,~~x> 1 ~;}$
\medskip

$\displaystyle{ \frac 1{\frac{\pi}2 -{\rm arsin} x}~,~~
x\in]0;1[~;~~\frac 1{1- |\cos (x^\alpha)|}~,~~ x\in ]0;\pi [~ 
~\hbox{\rm (al~variare ~del~
parametro}~\alpha\in {\bf R}{\rm )}~.}$



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ESERCIZIO n. 4 Studiare la convergenza delle serie: $\sum \sin \frac 1n,~
\sum \cos \frac 1n -1,~ \sum \frac{\log n}{n^3}, 
~\sum \frac 1{\left(\log n\right)^{\log n}} $

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ESERCIZIO n. 5 Studiare la convergenza delle serie:


\noindent $\sum \frac {n^{n+1} n! (n+2)!}{(3n-1)!}, 
~\sum \frac {3n\cdot n^{n-3} n!(n-2)!}
{(3n+1)!}, ~ \sum \frac{n^n n!(2n -2)!}{(4n+1)!}, ~ \sum \frac {n^n}{(n!)^2}$.

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 ESERCIZIO n. 6 Studiare la convergenza delle serie:
$\sum \frac {(-1)^n}{40^{\frac 1n}}, ~\sum \frac {(-1)^n}{\log n}, ~\sum 
2^{-\log n}\cos\pi n, ~$.




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ESERCIZIO n. 7 a) Si provi mediante integrazione per parti e confronto che $\frac{ \sin x}x$ ha  
integrale in senso improprio su
$]0; +\infty[$ finito.

b) Si provi che se $x\mapsto g(x)$ \`e una funzione defimita su $[0;+\infty [$, 
decrescente ed infinitesima per $x\to +\infty$, e quindi non negativa, allora 
la funzione $g(x)\sin x $ ha integrale in senso improprio  
su $[0;+\infty]$ finito. 

c) Che dire sull'integrale improprio di
$|g(x)\sin x|$?

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ESERCIZIO n. 8 Si studi l'integrabilit\`a in senso improprio, 
ed eventualmente la convergenza degli integrali, su
$]0;+\infty[$ delle funzioni $\sin (x^2)$, 
$ \left(\sin\pi\left( x+\frac 1x \right)\right)^2$ e
 $\sin\pi\left( x+\frac 1x \right)$. 




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ESERCIZIO n. 9 Studiare il dominio e il comportamento asintotico 
agli estremi dello stesso delleseguenti funzioni $x\mapsto f(x)$:


$$\int_{2x-3}^{x+5} \frac {te^{t-1}}{2t -7}dt~;~~\int_0^{x^2}\frac {\sin
t}{\sqrt{1-t^2}} dt~;~~ \int_0^{\tan x} \frac {\cos t}{1+t^2} dt~.$$






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ESERCIZIO n. 10 Posto $\displaystyle{ F(x)=\int_0^x f(t)\, dt}$, si studi il limite del rapporto
$\displaystyle{ \frac {F(x)}{f(x)}}$, $x\to+\infty$, nei seguenti casi:

$$f(x)=\frac {e^{\sqrt x}}{\sqrt x}~,~~f(x)=e^x~,~~ f(x)= xe^{x^2}~,~~f(x)=\log x~.$$

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ESERCIZIO n. 11 Si consideri $\displaystyle{\Gamma (\alpha )= \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{\alpha -1}
dx}$, $\alpha >0$. Si provi che \`e ben definito e quindi che $\Gamma (n)=(n-1)!$ per
$n\in{\bf N}$.


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ESERCIZIO n. 12 Si considerino gli integrali
$$
 {\displaystyle
\frac 13  {\large T(\kappa )~=~
\int_0^{1} \: \frac{1}{\sqrt{1-t^2}\cdot\sqrt{1-\kappa^2 t^2}} }\: dt
   \quad ,\quad \quad \kappa \in [0;1[. }
$$

a) Si calcoli $T(0)$ e si  provi che per ogni 
$\kappa\in [0;1[$ tali integrali sono finiti.
\smallskip

b) Si studi al variare di $\alpha\in{\bf R}$ il comportamento di $\left(T(\kappa )
-T(0)\right)\cdot \kappa^{-\alpha}$ per $\kappa\to 0$.
%\smallskip

%c) Si calcoli $T(\frac 14 )$ con un errore inferiore ad un centesimo.

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 ESERCIZIO n. 13 ${\bf *}$ Si provi che $\sum \sin n$ non converge.

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 \noindent ESERCIZIO n. 14 Per quali $x\in {\bf R}$ convergono rispettivamente le serie:

\noindent $ \sum (-2)^n e^{-nx}, \sum \frac n{n+1}(x-1)^n, ~ 
\sum \frac {(n!)^3 x^n}{n (3n)!}, \sum \frac {n}{x^2 +n^x}$.





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% \noindent ESERCIZIO n. 15 Si considerino le successioni  
%$a_0 =0, ~a_{n+1}= a_n^2 +\frac 14$, e $b_0=\alpha>0,~ 
%b_{n+1}=\frac {b_n}{b_n +1}$. 
%Si provi che sono monotone, se ne calcolino 
% i limiti $a$ e $b$ e si studino le serie $\sum (a-a_n)^2$, $\sum (b-b_n)$.

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%ESERCIZIO n. 16 ${\bf *}$ Si calcoli usando la definizione
% $\lim_{x\to\infty}\sum_n \frac 1{n^2+x^2}$.

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%ESERCIZIO n. 23 Si provi che la funzione $x\mapsto \sum_n \frac 1{n^2+x^2}$ 
%ha massimo su ${\bf R}$ ma non ha minimo.

%\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\end {document}
