Matematica, Anno Accademico 2004-2005, Scienze Geologiche P. Acquistapace, V.M. Tortorelli

II foglio di esercizi: V.M. Tortorelli dal 14 ottobre 2004 al 20 ottobre 2004

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Quali dei seguenti insiemi sono limitati?

{x ∈ R : x > 1}, {x ∈ R : 0 > x > 1}, {x ∈ R : 2 > x > 1}, {x ∈ R : x^{2} + 14 = 0} \{x ∈ R : x^{7} + x^{3} = x^{2} \}, \{x ∈ R : 2 > \frac{x−1}{x−2} > 1\}, \{x ∈ R : 2 > \frac{x^{3}−1}{x^{2}−2} > 1\}, \{(x, y) ∈ R^{2} : x^{6}y + xy^{2} = y^{2} \}, \{(x, y, z) ∈ R^{3} : 2 > \frac{x+y+z}{x−y−z} > 1\}, \{(x, y) ∈ R^{2} : 2 > \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} > 1\},

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Trovare estremo superiore ed inferiore degli insiemi e dire se sono rispettivamente massimo e minimo:

]0; 1], [1; 4[∩(]0; 2[∪]3; 5]), ⋃_{n∈N} [\frac{1}{n}; 1 − \frac{1}{n}]; ⋂_{n∈N} ]\frac{1}{n}; n[ , ⋃_{m∈N} ⋂_{n∈N} ]\frac{1}{n + m}; m + n[ ,

\{x ∈ R : |x^{2} + 1| < |x − 3| − 1\}, \{x ∈ R : |x^{2}| < |x − \frac{3}{x} | − 1\},

{x ∈ R : |x^{2} − 1| < |x + 3| − 2}, {x ∈ R : : 4 > |1 − x||1 + x| + (1 − x)^{2}} {x ∈ R : x^{2} + |x − 1| < 2} ∩ Q \{x : \frac{x+1}{|x−2|} − 2|x| > 0\}, \{x : log x^{2} ≥ log(2x − 1)\} ∩ Q, \{x : log_{x}(2x − 1) ≥ 2\}

⋂_{y∈R}{x : |x + y| + y ≤ 2}; ⋃_{y∈R}{x : |x + y| + y ≤ 2};

\{z ∈ R : z = \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} : 0 < x, y < 1\}, \{z ∈ R : z = \frac{xy}{x+y} : 0 < x, y < 1\},

\{z ∈ R : z = \frac{nm}{n^{2}+m^{2}} : n, m = 1, 2...\}, \{z ∈ R : z = \frac{nm}{n+m} : n, m = 1, 2...\}, \{z ∈ R : z = \frac{m−2}{3n} : n, m = 1, 2...\}, \{z ∈ R : z = \frac{1}{n} + (2m + 1)\frac{π}{2} : n, m = 1, 2 …\},

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 Calcolare estremo superiore, inferiore, e indicare se sono valori massimi o minimi, delle seguenti espressioni al variare degli argomento come rispettivamente specificato: 7n^{3} − n^{4}, n ∈ N; 7n^{6} − n^{8}, n ∈ N; 7x^{6} − x^{8}, x ∈ R; sin \frac{1}{n}, n ∈ N; \sqrt{n} − [\sqrt{n}], n ∈ N;

\frac{x^{6} + x^{4} + 1}{x^{4} + 2x^{2} − 3}, x^{4} + 2x^{2} − 3 ≠ 0; \frac{n^{6} + n^{4} + 1}{n^{4} + 2n^{2} − 3}, n ∈ N n^{4} + 2n^{2} − 3 ≠ 0; (x^{2} + 1)e^{−(x^{2}−1)}, x ∈ R;

\frac{n + 1}{n}, n ∈ N; \frac{2m}{m^{2} + 1}, m ∈ Z; (−n)^{n} + \frac{1}{n}, n ∈ N; n + \frac{1001}{n}, n ∈ N; x^{2} + \frac{1001}{x^{2} + 1}, x ∈ R

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Calcolare estremo superiore, inferiore, e specificare se sono valori massimi o minimi, delle seguenti espresssioni:

n cos mπ − \frac{3}{2 + n}, m, n ∈ N; \frac{n^{2} − m^{2}}{m^{2} + n^{2}} , m, n ∈ N; \frac{(x^{2} + y^{2})^{2}}{x^{2}y^{2}} , xy > 0;

\frac{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3}}{x^{2}y^{2}z^{2}} , xyz > 0

∑_{1≤n≤100} |a_{n}| al variare di a_{1}, … a_{100} tra le famiglie per cui sup{|a_{n}|; 1 ≤ n ≤ 100} < 1

————————————————————————————————————————– NOTAZIONE:

A + B = {x ∈ R : ∃a ∈ A, b ∈ B x = a + b}, λA = {x ∈ R : ∃a ∈ A x = λa}. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 5 Provare che: a - se A ⊆ B allora sup A ≤ sup B e inf B ≤ inf A; b - sup A ∪ B = max{sup A, sup B}, inf A ∪ B = min{inf A, inf B}, sup ⋃_{i∈I} A_{i} = sup_{i∈I} sup A_{i};

c - sup A + B = sup A + sup B, sup −A = − inf A, sup γ^{2}A = γ^{2} sup A; d - se f : I → R, g : I → R allora: sup_{x,y∈I} f(x) + g(y) = sup_{x∈I} f(x) + sup_{x∈I} g(x) ≥ sup_{x∈I} f(x) + g(x).

Si provi che la diseguaglianza è necessaria, e si trovi e provi un analogo enunciato per l’estremo inferiore;

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 - Dati a_{1} ≠ a_{2} trovare il più grande y per cui |x − a_{1}| + |x − a_{2}| ≥ y per ogni x ∈ R (per ogni punto la somma delle distanze dai punti dati sia più grande di y).

*- Si generalizzi se sono dati n punti diversi a_{1}, a_{2}, … a_{n}. ———————————————————————————————————————— PRINCIPIO DI INDUZIONE Partendo dagli assiomi di R ed da quello dell’esistenza di intersezioni infinite si identifica l’insieme dei numeri naturali come segue:

N = ⋂{A ⊆ R : 1 ∈ A, x ∈ A ⇒ x + 1 ∈ A}. a - Si ha che se A ⊆ N, m ∈ A, x ∈ A ⇒ x + 1 ∈ A allora A è l’insieme dei naturali più grandi di m. b- Ciò è equivalente a dire che se un proprietà vale per 1 e “passa al successore” allora vale per tutti i numeri naturali. c- Ciò è anche equivalente a dire che ogni sottoinsieme di N ha minimo. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 - Per quali naturali si ha rispettivamente 2^{n} − 2 ≥ n^{2}, n; 3^{n} ≥ n2^{n}?

- Provare ∑_{k=1}^{n}(2k − 1) = n^{2}; ∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}; ∑_{k=1}^{n} k^{3} = (∑_{k=1}^{n} k)^{2}.

- Provare 1 + 2x + 3x^{2} + … nx^{n−1} = \frac{1−(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1−x)^{2}} , (1 + x)(1 + x^{2}) … (1 + x^{2^{n}}) = \frac{1−x^{2^{n+1}}}{1−x} - Sia a_{1} ≥ 3 e a_{n+1} = a_{n}^{2} − a_{n}. Provare che per ogni n si ha a_{n} ≥ 2 e quindi che a_{n+1} ≥ a_{n}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.8 Si provi (1 + x)^{n} ≥ 1 + nx se x ≥ 0. Lo si provi anche per x > −1.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.9 - Si consideri la seguente proprietà D_{n}:

comunque siano dati n numeri non negativi si ha \sqrt[n]{x_{1} … x_{n}} ≤ \frac{x_{1}+...x_{n}}{n}.

- Si provi che se vale D_{n} vale D_{2n}.

- Si provi che se vale D_{n+1} vale D_{n}. Si deduca che per ogni n vale D_{n}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 - Si usi la proprietà provata nel precedente esercizio per mostrare che (1 + \frac{x}{n+1})^{n+1} ≥ (1 + \frac{x}{n})^{n} (se n > 1 − x),

(1 + \frac{1}{n})^{n+1} ≥ (1 + \frac{1}{n+1})^{n+2}, ^{n} \sqrt{n} ≥ ^{n+1} \sqrt{n + 1} (se n ≥ 4). ————————————————————————————————————————–