\documentstyle [12pt]{article}
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\begin {document}

\centerline{\bf  Matematica, Anno Accademico 2004-2005, 
Scienze Geologiche} \\

\centerline{P. Acquistapace, V.M. Tortorelli}

\bigskip

\centerline{II foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 14 ottobre 2004 al  20  ottobre 2004}
\medskip

%\noindent Programma e materiale relativo al corso 
% essere reperito in rete 
% selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale
%Didattico (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando 
%ALTRI CORSI DI LAUREA e Corso di laurea *****

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ESERCIZIO n. 1  Quali dei seguenti insiemi sono limitati?
\medskip

$\{ x\in{\bf R} :~ x>1\}, ~ \{ x\in{\bf R} :~ 0> x >1\}, ~
 \{ x\in{\bf R} :~ 2> x >1\}, ~\{ x\in{\bf R} :~x^2+14=0\}$

$\{ x\in{\bf R} : x^7 +x^3 =x^2~\},~
 \{ x\in{\bf R} :~ 2> \frac {x-1}{x-2} >1\}, ~
\{ x\in{\bf R} : ~ 2> \frac {x^3-1}{x^2-2} >1 \},~ 
$

$\{ (x,y)\in{\bf R}^2 : x^6y +xy^2 =y^2~\},~
 \{ (x,y,z)\in{\bf R}^3 :~ 2> \frac {x+y+z}{x-y-z} >1\}, ~$

$\{ (x,y)\in{\bf R}^2 : ~ 2> \frac {xy}{x^2+y^2} >1 \},~ 
$

 

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\noindent ESERCIZIO n. 2  Trovare estremo superiore ed 
inferiore degli insiemi e dire se sono rispettivamente 
massimo e minimo:
\medskip

 $\displaystyle{ ]0;1],~[1;4[\cap (]0;2[\cup ]3;5]),~\bigcup_{n\in{\bf
N}}\left[ \frac 1n ; 1-\frac 1n\right] ;~ \bigcap_{n\in{\bf
N}}\left]\frac 1n ; n\right[ ,~  \bigcup_{m\in {\bf N}}\bigcap_{n\in{\bf
N}}\left]\frac 1{n+m} ; m+n\right[, ~ }$

$ \{x \in {\bf R} :~ |x^2+1|<|x-3| -1\},~
 \{ x \in  {\bf R} :~
|x^2|<\left|x-\frac{3}x \right| -1\},$

$\{ x \in {\bf R} :~ |x^2-1|<|x+3| -2\}, ~
  \{ x \in {\bf R}:~ : 4> |1-x||1+x| +(1-x)^2\}$

$\{ x \in {\bf R} :~ x^2 + |x-1| < 2  \}\cap {\bf Q}$



$\{ x:~ \frac{x+1}{\vert
x-2\vert} -2\vert x\vert >0\},~\{ x:~ \log x^2 \geq\log (2x -1)\}\cap {\bf Q},~
\{ x:~\log_x (2x -1) \geq 2\}
$


$\displaystyle{\bigcap_{y\in{\bf R}}\{ x:~ \vert x+y\vert +y \le
2\};~\bigcup_{y\in{\bf R}}\{ x:~ \vert x+y\vert +y \le 2\}
};$

$\{ z\in {\bf R}:~z= \frac {xy}{x^2+y^2} :~0< x,~y<1\},~ 
\{ z\in {\bf R}:~z= \frac {xy}{x+y} :~0< x,~y<1\},~$

$\{ z\in {\bf R}:~z= \frac {nm}{n^2+m^2} :~n,~m =1,~ 2 ...\},~
\{ z\in {\bf R}:~z= \frac {nm}{n+m} :~n,~m =1,~ 2 ...\},~$

$\{ z\in {\bf R}:~z= \frac {m-2}{3n} :~n,~m =1,~ 2 ...\}, 
\{ z\in {\bf R}:~ z= \frac{1}{n} + (2m+1)
\frac{\pi}2 : n,m = 1,~2 \dots  \},$


\smallskip


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ESERCIZIO n. 3 Calcolare estremo superiore, inferiore, e indicare se sono
 valori massimi o minimi, delle seguenti espressioni al variare degli argomento come rispettivamente 
specificato:


\noindent $7n^3-n^4,~ n\in {\bf N};~
7n^6-n^8,~ n\in {\bf N};~7x^6-x^8,~ x\in {\bf R};~\sin \frac1n ,~n\in{\bf N};~
\sqrt{n} -[\sqrt{n}] ,~n\in{\bf N} ;$


\noindent $\displaystyle{\frac{x^6+x^4 +1}{x^4+2x^2-3},~x^4+2x^2-3\not=0;~
\frac{n^6+n^4 +1}{n^4+2n^2-3},~n\in{\bf N} ~n^4+2n^2-3\not=0; ~(x^2+1)e^{-(x^2-1)},~
x\in{\bf R};}$


\noindent $\displaystyle{\frac{n+1}{n},~n\in {\bf N};~~\frac{2m}{m^2+1},~ m\in{\bf
Z};~~(-n)^n+\frac{1}n,~n\in{\bf N};~~n+\frac{1001}n,~n\in{\bf
N};~~x^2+\frac{1001}{x^2 +1},~x\in{\bf R}
}$

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESERCIZIO n. 4 Calcolare estremo superiore, inferiore, e specificare se sono
 valori massimi o minimi, delle seguenti espresssioni: 


$\displaystyle{n\cos m\pi -\frac 3{2+n},~m,~n\in {\bf N};~ \frac {n^2
-m^2}{m^2+n^2},~ ~m,~n\in {\bf N};~\frac {(x^2+y^2)^2}{x^2y^2},~xy>0;
}$

$\displaystyle{
~\frac {(x^2+y^2+z^2)^3}{x^2y^2z^2},~xyz>0
}$

$\displaystyle{\sum_{1\le n\le 100} \vert a_n\vert }$  
al ~variare~di $a_1 ,\dots a_{100} $ tra~
le~famiglie~per~cui
 $\sup\{ \vert a_n\vert ;1\le n\le 100\}<1$





\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  


\vfill
\break
\eject
\bigskip


\noindent {\bf NOTAZIONE}:

$A+B=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A, ~b\in B ~ x=a+b\}$, 
 $\lambda A=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A ~x=\lambda a\}$. 


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
ESERCIZIO n. 5 Provare che:

\noindent a - se $A\subseteq B$ allora $\sup A\le \sup B$ e $\inf B\le \inf A$;

\smallskip

\noindent b - $\sup A\cup B =\max\{ \sup A ,\sup B\}$, 
$\inf A\cup B =\min\{ \inf A ,\inf B\}$, 
$\displaystyle{\sup \bigcup_{i\in I} A_i =\sup_{i\in I}\sup A_i}$;

\smallskip

\noindent c - $\sup A+B =\sup A+ \sup B$, $\sup -A =-\inf A$, 
  $\sup \gamma^2 A= \gamma^2 \sup A$; 
%$\lambda A=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A ~x=\lambda a\}$, ~
%$A\cdot B=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A, ~b\in B ~ x=a\cdot b\}$,
%posto $-A=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A, ~ x=-a\}$, 
%$\lambda A=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A ~x=\lambda a\}$, ~
%$A\cdot B=\{ x\in{\bf R}: ~\exists a\in A, ~b\in B ~ x=a\cdot b\}$,

 


\smallskip

\noindent d - se $f:I\rightarrow {\bf R}$, $g:I\rightarrow {\bf R}$ allora:
$\displaystyle{\sup_{x, y\in I} f(x) +g(y) = \sup_{x\in I} f(x) +
\sup_{x\in I} g(x) \geq \sup_{x\in I} f(x) +g(x)}$.

\noindent Si provi che la diseguaglianza \`e necessaria, 
e si trovi e provi un analogo enunciato per l'estremo inferiore;


\medskip


%\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
%ESERCIZIO n. 6  

%\noindent a - Se $0\le x$ e  
%$\forall \varepsilon> 0 x\le \varepsilon $ allora $x=0$.

%\noindent b - Ogni sottogruppo additivo $G$ di ${\bf R}$ o \`e un sottoinsieme 
% denso o  ha un minimo elemento positivo $g_0>0$, e tale $g_0$ genera $G$, 
%cio\`e  $G=g_0{\bf Z}$. 


%\noindent c - Due numeri reali $a$, $b$ hanno rapporto irrazionale se e solo se 
%$a{\bf Z}+ b{\bf Z}$ \`e un sottogruppo denso di ${\bf R}$.

%\medskip



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
ESERCIZIO n. 6 - Dati $a_1\not= a_2 $ trovare il pi\`u grande $y$ per cui
 $\vert x-a_1\vert + \vert x-a_2\vert \geq y$ per ogni $x\in {\bf R}$ 
(per ogni punto la somma delle distanze dai punti dati sia pi\`u grande di $y$).
\medskip

{\bf *}- Si generalizzi se sono dati $n$ punti diversi $a_1, ~ a_2 , \dots a_n$.

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\noindent {\bf PRINCIPIO DI INDUZIONE} 
Partendo dagli assiomi di ${\bf  R}$ ed da
 quello dell'esistenza di intersezioni infinite si identifica l'insieme dei numeri
naturali come segue:

 $\displaystyle{{\bf N}=
\bigcap \{ A\subseteq {\bf R}:~ 1\in A,~ x\in A\Rightarrow x+1\in A\}}$.

\noindent a - Si ha 
 che se $A\subseteq {\bf N}$, $m\in A$, 
$x\in A\Rightarrow x+1\in A$ allora $A$ \`e l'insieme dei naturali  pi\`u grandi di $m$.

\noindent b- Ci\`o \`e equivalente a dire che se un 
propriet\`a vale per $1$ e ``passa al successore'' allora 
 vale 
 per tutti i numeri naturali.

\noindent c- Ci\`o \`e anche equivalente a dire che ogni sottoinsieme di ${\bf N}$
 ha minimo.



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ESERCIZIO n. 7 - Per quali naturali si ha rispettivamente 
$2^n-2\geq n^2,~n;~~3^n \geq n2^n  $?
%5
%2 

\noindent - Provare $\sum_{k=1}^n (2k-1) =n^2;~ 
\sum_{k=1}^n k^2=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6};~ \sum_{k=1}^n
k^3= \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2$.

\noindent - Provare  
 $1+ 2x +3 x^2 +\dots n x^{n-1}= \frac {1-(n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2}, $ 
$(1+x)(1+x^2) \dots (1+x^{2^n}) = \frac { 1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$

\noindent - Sia $a_1 \geq 3$ e $a_{n+1} = a_n^2 -a_n$. 
Provare che 
 per ogni $n$ si ha $a_n\geq 2$ e quindi che 
$a_{n+1}\geq a_n$.

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ESERCIZIO n.8 Si provi 
 $ (1+x)^n \geq 1+nx ~\hbox{\rm se }~ x\geq 0$. Lo 
si provi anche per $x> -1$.


\medskip

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESERCIZIO n.9 - Si consideri la seguente propriet\`a $D_n$:

 {\it  comunque siano dati $n$ numeri non negativi si ha  ${\sqrt[n]{x_1\dots x_{n}}}
\le \frac {x_1 +\dots x_{n}}{ n}$.}

- Si provi che se vale $D_n$ vale $D_{2n}$.

- Si provi che se vale $D_{n+1}$ vale $D_n$. 
Si deduca che per ogni $n$ vale $D_n$.



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESERCIZIO n. 10 - Si usi la propriet\`a provata nel precedente esercizio 
per mostrare che 
$\left(1+\frac x{n+1}\right)^{n+1}\geq 
\left(1+\frac xn\right)^n $ (se $n>1-x$),~
% n+1+x= n (n+x)/n +1  

\noindent $\left(1+\frac 1{n}\right)^{n+1}\geq 
\left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n+2} $,~ 
$\sqrt[n]{n}\geq \sqrt[n+1]{n+1}$ (se $n\geq 4$).








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\end{document}
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ESERCIZIO n. 5  

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
ESERCIZIO n. 6

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
ESERCIZIO n. 7 


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESERCIZIO n. 9 - Si provi per induzione
 $ (1+x)^n \geq 1+nx ~\hbox{\rm se }~ x\geq 0$

- Si provi che vale anche se $x> -1$.

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESERCIZIO n. 10  Si provi per induzione: 

$1+ 2x +3 x^2 +\dots n x^{n-1}= \frac {1-(n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2}, $ 
$(1+x)(1+x^2) \dots (1+x^{2^n}) = \frac { 1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$
\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\

ESERCIZIO n. 12 - Si provi che $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}2$, se $x, ~y \geq 0$  
e se ne dia un'interpretazione geometrica.

- Si consideri la seguente propriet\`a $D_n$:

 {\it  comunque siano dati $n$ numeri non negativi si ha  ${\sqrt[n]{x_1\dots x_{n}}}
\le \frac {x_1 +\dots x_{n}}{ n}$.}

- Si provi che se vale $D_n$ vale $D_{2n}$.

- Si provi che se vale $D_{n+1}$ vale $D_n$. 
Si deduca che per ogni $n$ vale $D_n$.

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
ESERCIZIO n. 13 {\bf *} - Si usi la propriet\`a provata nel precedente esercizio 
per mostrare che 
$\left(1+\frac x{n+1}\right)^{n+1}\geq 
\left(1+\frac xn\right)^n $ (se $n>1-x$),~
% n+1+x= n (n+x)/n +1  

$\left(1+\frac 1{n}\right)^{n+1}\geq 
\left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n+2} $,~ 
$\sqrt[n]{n}\geq \sqrt[n+1]{n+1}$ (se $n\geq 4$).





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ESERCIZIO n. 16
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proprieta di archimede

densita

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ESERCIZIO n. 17
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sottogruppi di R e generatore 

razionalita e sottogruppi

definizione di pi greco

irrazionalita pi greco




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\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
ESERCIZIO n. 18
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ESERCIZIO n. 19
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\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
ESERCIZIO n. 20
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\end{document}






