Matematica, Anno Accademico 2004-2005, Scienze Geologiche

P. Acquistapace, V.M. Tortorelli

III foglio di esercizi: 21 ottobre 2004 - 28 ottobre 2004

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————————————————————————————————————————– DEFINIZIONE: si dice segmento tra due punti P e Q dello spazio o del piano l’insieme dei punti del tipo P + t(Q − P)+ = (1 − t)P + tQ al variare di t tra 0 ed 1 compresi. Nel caso in cui si vogliano escludere gli estremi si dovranno escludere i rispettivi estremi del dominio ove varia il parametro t. DEFINIZIONE: un sottoinsieme C dello spazio si dice convesso se per ogni coppia di suoi punti contine tutto il segmento tra essi compreso (t ∈ [0; 1], P, Q ∈ C ⇒ (1−t)P +tQ ∈ C). Si osserva che l’intersezione di una famiglia di convessi è un convesso. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 - Si provi che un [0; 1], \{(x, y) : x = 3y + 1\}, \{(x, y) : y ≤ \sqrt{2}x − 6\}, {(x, y, z) : z = 3}, {(x, y, z) : x − y ≤ z} sono convessi.

- Si provi che {(x, y) : y ≥ |x|}, {(x, y) : y ≥ x^{2}}, {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1} sono convessi. ————————————————————————————————————————– DEFINIZONE: dati n punti P_{1}, ..., P_{n} si dice combinazione baricentrica o media pesata di essi un qualsiasi punto del tipo m_{1}P_{1} + … m_{n}P_{n}, ove m_{1} + … m_{n} = 1, 0 ≤ m_{1}, … m_{n} ≤ 1. I numeri m_{1}, … m_{n} si diranno anche pesi della combinazione. DEFINIZIONE: dato un insieme A si dice inviluppo convesso di A l’insieme dei punti che si ottengo con combinazioni baricentriche di elementi di A. PROPOSIZIONE: Per un sottoinsieme A del piano l’inviluppo convesso si ottiene con medie pesate di terne di punti di A. Nello spazio di quaterne. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Trovare le coordinate del baricentro (definito come punto di incontro delle mediane) di un triangolo conoscendo le coordinate dei suoi tre vertici. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 - Si esprima il triangolo ottenuto dall’ intersezione dei sempipiani x ≥ 1, y ≥ 1, y ≤ −2x + 3 come inviluppo convesso di tre punti.

- Mostrare che in generale l’inviluppo convesso di un insieme A non è eguale all’intersezione dei semipiani, che contengono ognuno la retta che lo individua, e che contengono A. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Si disegnino in modo o approssimativo i grafici delle funzioni: x ↦ |x|, x ↦ x^{2}, x ↦ x^{3} x ↦ x^{5}, x ↦ x^{4}, x ↦ |x|^{7}; x ↦ \sqrt{x}, x ↦ ^{3} \sqrt{x}, x ↦ ^{4} \sqrt{|x|}; x ↦ ^{15} \sqrt{x + 5} − 3, x ↦ −\sqrt{2 − x}, x ↦ ^{3} \sqrt{3x − 3}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 - Traslando il grafico di x ↦ x^{2} con uno spostamento di (4, 0) di quale funzione si ottiene il grafico?

- Traslando il grafico di x ↦ x^{3} con uno spostamento di (−1, 0) ?

- Traslando il grafico di x ↦ |x| con uno spostamento di (−1, 2)?

- Il simmetrico rispetto all’asse verticale del grafico di x ↦ (x − 1)^{2} + (x − \sqrt{3})^{3} di che funzione è grafico?

- Il simmetrico rispetto all’asse verticale del grafico di x ↦ x^{3} − 6x − x^{2} ?

- Il simmetrico del grafico di x ↦ (x − 2)^{3} + 1 rispetto alla bisettrice degli assi?

- Che dire della stessa simmetria per il grafico di x ↦ x^{2}? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 In generale se g(f(x)) = x il grafico di g sull’immagine di f si ottiene dal grafico di f per simmetria rispetto alla bisettrice.

DEFINIZIONE: Una funzione a valori reali definita su un convesso f si dice convessa se e solo se il suo sopragrafico {(x, y) : y ≥ f(x)} è convesso. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Una funzione è convessa se e solo se f((1 − t)a + tb) ≤ (1 − t)f(a) + tf(b) per ogni numero t ∈ [0; 1]. ————————————————————————————————————————–

FORMULARIO

sin^{2} α + cos^{2} α = 1,

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,

Per 0 < α < \frac{π}{2}: sin α < α, cos α ≤ \frac{sin α}{α} ≤ 1,

sin α cos β = \frac{sin(α+β)+sin(α−β)}{2}, sin α sin β = \frac{− cos(α+β)+cos(α−β)}{2}, cos α cos β = \frac{cos(α+β)+cos(α−β)}{2}, sin α + sin β = 2 sin (\frac{α+β}{2} ) cos (\frac{α−β}{2} ) , cos α + cos β = 2 cos (\frac{α+β}{2} ) cos (\frac{α−β}{2} )

cos α − cos β = −2 sin (\frac{α+β}{2} ) sin (\frac{α−β}{2} ) , sin α − sin β = 2 sin (\frac{α+β}{2} ) sin (\frac{α−β}{2} )

cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1+cos x}{2}, sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1−cos x}{2}

tan α = \frac{sin α}{cos α}, cot α = \frac{cos α}{sin α}

arcsin x = α, x ∈ [−1, 1] ⇔ sin α = x e α ∈ [−π/2, π/2],

arccos x = α, x ∈ [−1, 1] ⇔ cos α = x e α ∈ [0, π],

arctan x = α, x ∈ (−∞, ∞) ⇔ tan α = x e α ∈] − π/2, π/2[,

sin x = sin x_{0} ⇔ x = x_{0} + 2kπ o x = π − x_{0} + 2kπ = −x_{0} + (2k + 1)π,

cos x = cos x_{0} ⇔ x = ±x_{0} + 2kπ,

tan x = tan x_{0} ⇔ x = x_{0} + kπ. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Calcolare cos \frac{π}{12}, sin \frac{5π}{12} , sin \frac{7π}{8}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 Verificare le seguenti relazioni ed interpretarle geometricamente:

cos(x + π) = cos(x − π) = − cos x, sin(x + π) = sin(x − π) = − sin x;

cos(x + \frac{π}{2}) = − sin x, sin(x + \frac{π}{2}) = cos x, | sin x| ≤ |x| ≤ | tan x| (se |x| ≤ \frac{π}{2}

| cos x − cos y| ≤ |x − y|, | sin x − sin y| ≤ |x − y|. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 Trovare l’intersezione A ⋂ B dove

A = \{x ∈ R : x^{4} + |x − 3| = sin (x\frac{π}{2} )\} e B = \{x ∈ R : |x| ≤ 2\}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Risolvere le seguenti equazioni: 3 sin x−\sqrt{3} cos x = 0, sin x+3| sin x| = 2, − cos^{6} x + sin^{3} x cos^{3} x + sin^{6} x = 0. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 Trovare tutti gli x per cui rispettivamente: sin x < \frac{1}{2}, 4 sin x tan x > \frac{3}{cos x}, \frac{1+cos^{2} x}{1+sin x} > 2. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 13 Calcolare l’estremo superiore ed inferiore dell’insieme:

\{sin \frac{n−1}{2n}π : n ∈ N \}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 14 Disegnare i grafici delle funzioni: x ↦ − sin x, x ↦ sin 3x, x ↦ cos \frac{x}{2}, x ↦ 3 sin x, x ↦ tan(x − \frac{π}{2}), x ↦ | sin x|, x ↦ sin^{2} x. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 15 Dire se le seguenti funzioni sono periodiche ed indicarne il periodo: x ↦ sin(π^{2}−πx), x ↦ | sin x|+| cos x|, x ↦ sin(x^{2}), x ↦ 3 sin^{2} x+sin \frac{x}{2}, x ↦ sin^{5} x+3 cos^{7} 2x+1. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 16 - Provare che \frac{1}{2} + cos x = \frac{sin \frac{3}{2} x}{2 sin(x/2)},

- Provare e ricordare che: sin x = \frac{2 tan \frac{x}{2}}{1+tan^{2} \frac{x}{2}} , cos x = \frac{1−tan^{2} \frac{x}{2}}{1+tan^{2} \frac{x}{2}} .