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\begin {document}

\centerline{\bf  Matematica, Anno Accademico 2004-2005, 
Scienze Geologiche} \\

\centerline{\pic P. Acquistapace, V.M. Tortorelli}

\centerline{III foglio di esercizi: 21 ottobre 2004 - 28  ottobre 2004}


\noindent{\pic Materiale relativo al corso pu\`o essere reperito in rete 
 selezionando nella Pagina del Dipartimento la voce Materiale
 Didattico 

\noindent (http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html) e quindi selezionando 
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\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent DEFINIZIONE: si dice {\it segmento} tra due punti $P$ e $Q$ dello spazio o del piano
 l'insieme dei punti del tipo $P +t(Q-P)+= (1-t)P +tQ$ al variare di $t$ tra $0$ ed $1$ compresi.
 Nel caso in cui si vogliano escludere gli estremi si dovranno escludere i rispettivi 
estremi del dominio ove varia il parametro $t$.

\noindent DEFINIZIONE: un sottoinsieme $C$ dello spazio si dice {\it convesso}
  se per ogni coppia di suoi punti contine tutto il segmento 
tra essi compreso ($t\in [0;1],~P,~ Q\in C~\Rightarrow (1-t)P +tQ\in C$).

\noindent Si osserva che l'intersezione di una famiglia di convessi \`e un  
 convesso.

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\noindent ESERCIZIO n. 1 - Si provi che un $[0;1]$, $\{(x,y): x=3y+1\}$, 
 $\{ (x,y): y\le {\sqrt{2}} x -6\}$, $\{ (x,y,z): z=3\}$, 
$\{ (x,y,z): x-y\le z\}$ sono convessi.

\noindent - Si provi che $\{ (x,y): y\geq \vert x\vert \}$,  
 $\{ (x,y) : y\geq x^2 \}$, $\{ (x,y,z): x^2 +y^2 +z^2 \le 1\}$ sono convessi.


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\noindent DEFINIZONE: dati $n$ punti $P_1$, ..., $P_n$ si {\it dice combinazione 
 baricentrica} o {\it media pesata} di essi un qualsiasi punto del tipo 
$m_1P_1 +\dots m_n P_n$, ove $m_1 +\dots m_n=1$, $0\le m_1,~\dots m_n\le 1$. I numeri 
$m_1 ,~ \dots m_n$ si diranno anche pesi della combinazione.


\noindent DEFINIZIONE: dato un insieme $A$ si dice {\it inviluppo convesso di } $A$ 
 l'insieme dei punti che si ottengo con combinazioni baricentriche
 di elementi di $A$.


\noindent PROPOSIZIONE: Per un sottoinsieme $A$ del piano l'inviluppo convesso si ottiene con medie pesate 
di terne di  punti di $A$. Nello spazio di quaterne.



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\noindent ESERCIZIO n. 2  Trovare le coordinate del baricentro (definito come punto di incontro delle mediane) 
di un triangolo conoscendo le coordinate dei 
suoi tre vertici.


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\noindent ESERCIZIO n. 3 - Si esprima il triangolo ottenuto dall' intersezione 
dei sempipiani 
 $x\geq 1$, $y\geq 1$, $y\le -2x +3$ come inviluppo convesso 
di tre punti.

\noindent - Mostrare che in generale l'inviluppo convesso di un insieme $A$ 
non \`e eguale all'intersezione 
dei semipiani, che contengono ognuno la retta che lo
 individua, e che contengono $A$.

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ESERCIZIO n. 4 Si disegnino in modo o approssimativo i grafici delle funzioni:
  $x\mapsto \vert x\vert$, 
$x\mapsto x^2$, $x\mapsto x^3$ $x\mapsto x^5$, $x\mapsto x^4$,  $x\mapsto \vert x\vert^7$; 
 $x\mapsto \sqrt{ x}$, $x\mapsto\sqrt[3]{ x}$, $x\mapsto\sqrt[4]{ \vert x\vert}$;
 $x\mapsto \sqrt[15]{x+5} -3$,  $x\mapsto -\sqrt{2-x}$, $x\mapsto \sqrt[3]{ 3x -3}$. 



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ESERCIZIO n. 5  - Traslando il grafico di $x\mapsto x^2$ con uno spostamento di $(4,0)$ 
di quale funzione si ottiene il grafico?

- Traslando il grafico di $x\mapsto x^3$ con uno spostamento di $(-1,0)$ ?

- Traslando il grafico di $x\mapsto \vert x\vert$ con uno spostamento di $(-1,2)$?


- Il simmetrico rispetto all'asse verticale del grafico di $x\mapsto (x-1)^2+ (x-\sqrt{3})^3$ di 
che funzione \`e grafico?

-  Il simmetrico rispetto all'asse verticale del grafico di $x\mapsto x^3 -6x -x^2$ ?

- Il simmetrico del grafico di $x\mapsto (x-2)^3+1$ rispetto alla bisettrice degli assi? 


- Che dire della stessa simmetria per il grafico di $x\mapsto x^2$?


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\noindent ESERCIZIO n. 6 In generale se $g(f(x))=x$ il grafico di $g$ sull'immagine di $f$ si ottiene 
dal grafico di $f$ per simmetria rispetto alla bisettrice.


\break
\vfill
\eject

\noindent DEFINIZIONE: Una funzione a  {\it valori reali} definita su un convesso 
 $f$ si dice {\it convessa} se e solo 
se il suo sopragrafico $\{ ({\bf x},y): y\geq f({\bf x})\}$ \`e convesso.

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\noindent ESERCIZIO n. 7 Una funzione \`e convessa se e solo se 
$f((1-t){\bf a} +t {\bf b})\le (1-t)f({\bf a} )+ tf({\bf b})$ per ogni numero 
 $t\in [0;1]$.

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\centerline{\bf FORMULARIO}

$
\sin^2\alpha + \cos^2 \alpha =1,$

$\sin (\alpha + \beta) =\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin
\beta,$ $\cos (\alpha + \beta) =\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin
\beta,$

Per $ 0 <\alpha < \frac{\pi}2$:~~ $\sin \alpha < \alpha$,~~ 
$\cos \alpha \le \frac{\sin \alpha}{\alpha} \le 1 ,$


$
\sin \alpha \cos \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta) + \sin(\alpha
-\beta)}2, \ \sin \alpha \sin \beta = \frac{-\cos (\alpha + \beta)
+ \cos(\alpha -\beta)}2$, ~$
\cos \alpha \cos \beta = \frac{\cos (\alpha + \beta) + \cos(\alpha
-\beta)}2,$

$
\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}2
\right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}2 \right), \ \cos \alpha
+ \cos \beta = 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}2 \right) \cos
\left( \frac{\alpha - \beta}2 \right)$

$
\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}2
\right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}2 \right),~
\sin \alpha  -\sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}2
\right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}2 \right)
$

$\cos^2 \frac x2 =\frac {1+\cos x}2, ~\sin^2\frac x2 =\frac{1-\cos x}2$

$
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \ \cot \alpha =
\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

$
\arcsin x = \alpha , x \in [-1,1] \Leftrightarrow \sin \alpha = x
\ {\rm e }\  \alpha \in [-\pi/2, \pi/2] ,$

$
\arccos x = \alpha , x \in [-1,1] \Leftrightarrow \cos \alpha = x
\ {\rm e}\ \alpha \in [0, \pi] ,$

$
\arctan x = \alpha , x \in (-\infty,\infty) \Leftrightarrow \tan
\alpha = x \ {\rm e } \ \alpha \in ]-\pi/2, \pi/2[ ,$

$
\sin x = \sin x_0 \Leftrightarrow x = x_0  + 2k\pi \ {\rm o} \ 
x= \pi - x_0 +
2k\pi = -x_0 + (2k+1)\pi, $

$\cos x = \cos x_0 \Leftrightarrow x = \pm x_0  + 2k\pi
,$

$
\tan x = \tan x_0 \Leftrightarrow x = x_0  + k\pi $.

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\
ESERCIZIO n. 8 Calcolare $\cos \frac{\pi}{12}$, $\sin \frac{5\pi}{12}$ , ~$\sin\frac{7\pi}8$.

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\
ESERCIZIO n. 9  Verificare le seguenti relazioni ed interpretarle geometricamente:

$\cos (x+\pi )= \cos (x-\pi)= -\cos x ,~~
\sin (x+\pi )= \sin (x-\pi)= -\sin  x $;

$\cos (x+\frac{\pi}2 )= -\sin x ,~ 
\sin (x+\frac{\pi}2 )=\cos x,~ 
\vert \sin x\vert   \le \vert x\vert \le 
\vert \tan x \vert ~
( {\rm se} ~ \vert x \vert \le \frac{\pi}2$

$\vert \cos x -\cos y\vert \le \vert x - y\vert,~
\vert \sin x -\sin y\vert \le \vert x - y\vert$.
 






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ESERCIZIO n. 10  Trovare l'intersezione
 $A \bigcap B$ dove
 
$ A = \{ x \in {\bf R} : x^4 + |x-3| = \sin \left(x
 \frac{\pi}2 \right) \} $ e $B  = \{ x \in {\bf R} :|x| \leq 2
 \}.$

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESERCIZIO n. 11 Risolvere le seguenti equazioni: $3\sin x -\sqrt{3}\cos x=0$, 
$\sin x +3\vert \sin x\vert =2$, 
$ -\cos^6 x + \sin^3 x \cos^3 x + \sin^6 x =0$.

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ESERCIZIO n. 12  Trovare tutti gli $x$ per cui rispettivamente: $ \sin x < \frac 12$, 
$4\sin x\tan x> \frac 3{\cos x}$, $\frac{1+ \cos^2 x}{1+\sin x} > 2.$


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ESERCIZIO n. 13 Calcolare l'estremo superiore ed inferiore dell'insieme:

$\{ \sin \frac {n-1}{2n} \pi :~ n\in {\bf N}~\}$.



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ESERCIZIO n. 14 Disegnare i grafici delle funzioni: $x\mapsto -\sin x$,  $x\mapsto \sin 3x$, 
 $x\mapsto  \cos \frac x2$, 
 $x\mapsto  3\sin x$,
 $x\mapsto  \tan (x -\frac{\pi}2 )$, 
 $x\mapsto  \vert \sin x\vert$, ~
 $x\mapsto  \sin^2 x$.




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ESERCIZIO n. 15 Dire se le seguenti funzioni sono periodiche ed indicarne il periodo:
$x\mapsto  \sin (\pi^2 -\pi x)$, $x\mapsto  \vert \sin  x\vert + \vert \cos x \vert$, 
$x\mapsto \sin (x^2)$,   
$x\mapsto 3\sin^2 x  + \sin \frac x2$, $x\mapsto  \sin^5 x +3\cos^7 2x + 1$.




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ESERCIZIO n. 16 - Provare che
$\frac 12 + \cos x  = 
\frac{\sin \frac 32 x}{2 \sin (x/2)}$,~

\noindent - Provare e ricordare che:  $\sin x = \frac{2\tan\frac{x}2}{1+\tan^2 \frac{x}2}, ~ 
\cos x  = \frac{1-\tan^2 \frac{x}2}{1+\tan^2 \frac{x}2}$.

\end{document}
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