Matematica, Anno Accademico 2004-2005, Scienze Geologiche IV foglio di esercizi: P.Acquistapace, V.M. Tortorelli, dal 28 ottobre al 4 novembre 2004

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————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 - Si scriva in forma parametrica il segmanto parallelo al vettore dall’origine a (1, 2, 3), passante per (4, 5, 6) e lungo 14.

- Si scriva in forma parametrica il triangolo di vertici (1, 2, 3), (4, 6, 8), (5, 7, 9).

- Si trovino due numeri reali a, b per cui (1, 2) = a(1, 1) + b(2, 1). Si mostri che sono unici. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Si provi che le rette X = P +tQ, t ∈ R e X = A+sB, s ∈ R sono parallele se e solo se esiste λ ∈ R, non nullo, tale che Q = λB. ————————————————————————————————————————– OSSERVAZIONE Prodotto scalare Dalle formula di addizione per le funzioni trigonometriche, indicando con |(x, y)| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} la distanza dall’origine O del punto di coordinate (x, y) si ha che dato due punti P e Q nel piano di coordinate rispettivamente (a, b) e (α, β)

a · α + b · β = |P ||Q| cos θ ove θ è la misura in radianti dell’angolo P OQ. Del tutto analogamente dati due punti nello spazio di coordinate (a, b, c) e (α, β, γ) si ha

a · α + b · β + c · γ = |P ||Q| cos θ ove qui |(x, y, z)| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} e θ è la misura dell’angolo P OQ nel piano P OQ. DEFINIZIONE: dati due vettori P e Q nel piano (o nello spazio) la somma dei prodotti delle coordinate di egual posto si dice prodotto scalare tra i due vettori. Esso si indica con (P · Q) o P •Q. Quindi P •P = |P |^{2}. Si ha la diseguaglianza notevole: −|P |·|Q| ≤ P •Q ≤ |P |·|Q|. L’equazione come luogo di zeri che individua una retta nel piano ovvero un piano nello spazio non dice altro che si considerano i punti (x, y, z) che hanno un prodotto scalare di valore costante d con un vettore prefissato (a, b, c): ax + by + cz = d. Semipiani e semispazi vengo invece individuati dalle relative diseguaglianze. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 - Determinare l’equazione della retta passante per (2, −1) e perpendicolare alla retta di equazione 4x − 3y + 12 = 0. -Determinare la retta passante per (0, 0) e per il centro di x^{2} + y^{2} − 2x + y = 0.

- Si calcoli la distanza del punto (−3, 2) dalla retta di equazione 4x − 3y + 12 = 0.

- Si calcoli la distanza del punto (−3, 2, −1) dal piano di equazione 4x − 3y + 2z − 12 = 0.

- Si determini come luogo di zeri il piano parallelo ai vettori dall’origine a (1, 2, 3) e (4, 5, 6) e passante per (7, 8, 9).

- Si determini come luogo di zeri il piano passante per (1, 2, 3), (4, 5, 6) e (7, 8, 9). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 - Verificare che gli insiemi {(x, y) ∈ R^{2} : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}, {(x, y) ∈ R^{2} : |x| + |y| ≤ 1} sono quadrati; determinarne i vertici e le lunghezze dei lati.

- Che poliedri individuano gli insiemi {(x, y, z) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1}, {(x, y, z) : |x| + |y| + |z| ≤ 1}. Qual’è la distanza dall’origine delle facce del secondo? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 - Si suddivida il segmento di estremi (1, 2) e (2, 1) in quattro parti di egual lunghezza mediante i tre punti P, Q, R. Si calcolino le coordinate di tali punti.

- Dati P = (−2, 5) e Q = (4, 13), trovare le coordinate di un punto R sul segmento P Q tale che |P − R| = 2 |Q − R|.

- Se R = (2, 3, 2) è punto medio del segmento P Q e P = (7, 5, 6), trovare le coordinate di Q. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Dimostrare che per ogni P, Q si ha |P − Q|^{2} = |P |^{2} + |Q|^{2} − 2 P • Q.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 - Provare che il triangolo di vertici (2, −1), (4, 2) e (5, 1) è isoscele.

- Provare che il triangolo di vertici (−3, 3), (−1, 3) e (11, −1) è rettangolo.

- Calcolare la lunghezza della mediana uscente dal punto A relativa al triangolo ABC, ove A = (−1, 1), B = (0, −6), C = (−10, −2).

- Scrivere l’equazione del luogo dei punti che sono equidistanti da (0, 2) e (2, 1).

- Scrivere l’equazione del luogo dei punti che sono equidistanti dai punti (0, 2, 1) e (2, 1, 3). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.8 - Si provi che le rette ax + by + c = 0 e a′x + b′y + c′ = 0 sono parallele se e solo se esiste λ ∈ R tale che a′ = λa e b′ = λb.

- Si provi che le rette ax + by + c = 0 e a′x + b′y + c′ = 0 sono perpendicolari se e solo se esiste λ ∈ R tale che λa = −b′, λb = a′.

- Si provi che: le rette X = P + tQ, t ∈ R, e ax + by + c = 0 sono perpendicolari se e solo se i vettori Q e (a, b) sono proporzionali; parallele se e solo se Q e (b, −a) sono proporzionali. ————————————————————————————————————————– OSSERVAZIONE Orientazione. Intuitivamente due coppie ordinate di vettori (non nulli e non paralleli) nel piano si dicono con la stessa orientazione se i secondi spazzano l’angolo convesso verso i primi nello “stesso senso”. Si scrive O(v, w) = 1 rispettivamente O(v, w) = −1, se la coppia di vettori del piano ha la stessa orientazione della coppia “canonica” ((1, 0), (0, 1)). Area orientata e determinante Data (v, w) si considera il parallelogramma P di vertici O, v, w, v + w generato. La quantità d(v, w) = O(v, w)Area(P) ha le proprietà:

d(v, w) = −d(w, v) (alternante),

d(v + tu, w) = d(v, w) + td(u, w), d(v, w + tu) = d(v, w) + td(v, u) (bilineare)

La seconda proprietà si deduce da tre fatti: d(tu,w)=td(u,w) (variando una dimensione l’area varia dello stesso fattore), d(v+tw,w)=d(v,w) (parallegrammi con stessa base ed altezza hanno stessa area), ogni u si scrive come sv+σw (a parte i casi “degeneri”).

- Analoghe considerazioni intuitive si fanno per 3 vettori ordinati in R^{3} riferendosi al volume orientato del parallelepipedo da essi individuato. Nel caso alternante vuol dire che se si scambiano due vettori della terna ordinata tra loro si cambia segno. Proposizione - Esiste un’unica funzione di coppie ordinate di vettori del piano cartesiano che sia bilineare, alternante e che valga 1in ((1, 0), (0, 1)): essa associa a (P, Q) = ((a, b), (α, β)) il numero a · β − b · α.

- Analogamente esiste un’unica funzione di terne ordinate di vettori dello spazio cartesiano che sia trilineare, alternante e che valga 1 in ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)): (P, Q, R) = ((a, b, c), (α, β, γ), (A, B, C))) ↦ a(βC − γB) − α(bC − cB) + A(bγ − βc) =

= a(βC − γB) − b(αC − Aγ) + c(αB − Aβ)

DEFINIZIONE: data una coppia ordinata (P, Q) di vettori nel piano cartesiano o una terna ordinata (P, Q, R) di vettori nello spazio cartesiano tali numeri sono detti determinanti, ed indicati rispettivamente con det(P, Q) e det(P, Q, R). DEFINIZIONE: una coppia ordinata di vettori di R^{2}, o una terna ordinata di vettori in R^{3}, si dicono avere orientazione positiva se il loro determinante è positivo. DEFINIZIONE: dati Q = (α, β, γ), R = (A, B, C) non nulli ne paralleli il vettore Q ∧ R =_{def} (βC − γB, −(αC − Aγ), αB − Aβ) si dice prodotto vettore. Si ha det(X, R, Q) = X • Q ∧ R.

- Q ∧ R è ortogonale a Q ed R; (Q ∧ R, Q, R) ha orientazione positiva, come (Q, R, Q ∧ R). Come per il prodotto scalare si ha:

- nel piano det(P, Q) = |P ||Q| sin θ, (θ è la misura dell’angolo P OQ orientato)

- nello spazio |P ∧ Q| = |P ||Q|| sin θ| È l’ area del parallelograma di vertici O, P, Q, P + Q . Con un minimo di fatica si prova che il modulo del determinante coincide con le altre nozioni di area o di volume.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 - Si calcoli l’area del triangolo di vertici (1, 2), (6, 7), (−1, 3).

- Si calcoli il volume del parallelepipedo nello spazio di vertici (1, 1, 1), (2, 2, 3), (3, 2, 2), (2, 3, 2), (5, 5, 5).

- Si determini l’area del triangolo con vertici l’origine, (1, 1, 1) e la proiezione ortogonale di questo sul piano per l’origine e i punti (1, 2, 2), (2, 2, 1). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 - Si provi che i quattro punti (1, 1, 1), (3, 2, 2), (2, 3, 2), (4, 4, 3) giacciono su uno stesso piano.

- Si calcolino le aree dei tre parallelogrammi ottenuti proiettando ortogonalmente sui piani coordinati il parallelogramma, nello spazio, di vertici (1, 1, 1), (3, 2, 2), (2, 3, 2), (4, 4, 3).

- Si verifichi che la radice quadrata della somma dei quadrati delle precedenti aree è eguale all’area del parallelogramma nello spazio. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 - Si provi che due vettori, (a, b) e (α, β), sono uno multiplo dell’altro se e solo se aβ − bα = 0.

- Dimostrare che il sistema \{ \begin{matrix}ax + by + c = 0 \\ αx + βy + γ = 0 \end{matrix} per ogni dato (c, γ) è risolubile univocamente

se e solo se risulta aβ − bα ≠ 0; in tal caso se ne scriva la soluzione (x, y). ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 12 - Si trovino le soluzioni del sistema \{ \begin{matrix}x + y + 2z = 1 \\ 2x + 2y + z = 1 \\ −x − y + z = 1 \end{matrix}

- Si trovino le soluzioni del sistema \{ \begin{matrix}x + y + 2z = 2 \\ 2x + 2y + z = 1 \\ −x − y + z = 1 \end{matrix}

- Si trovino le soluzioni del sistema \{ \begin{matrix}x + y + 2z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \\ −x − y − z = 0 \end{matrix}

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 13 - Due vettori nello spazio sono uno multiplo dell’altro se e solo se il loro prodotto vettore è nullo.

- Si verifichi che dati due vettori nello spazio (α, β, γ) e (A, B, C) il vettore individuato dalla terna (det((β, γ), (B, C)), −det((α, γ), (A, C)), det((α, β), (A, B))) è ortogonale ai due vettori.

- Si deduca dal precedente punto che tre vettori nello spazio stanno sullo stesso piano passante per l’origine se e solo se il determinante delle loro coordinate è nullo.

- Si provi che il sistema \{ \begin{matrix}ax + by + cz = d \\ αx + βy + γz = δ \\ Ax + By + Cz = D \end{matrix} ha un’unica soluzione per ogni dato (d, δ, D)

se e solo se det((a, b, c), (α, β, γ), (A, B, C)) ≠ 0.

- Per quali dati(d, δ, D) è risolubile se invece il determinante è nullo?