\documentstyle [12pt]{article}
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\newcommand{\R}{{\bf R}}
\newcommand{\N}{{\bf N}}
\begin {document}

\centerline{\bf  Matematica, Anno Accademico 2004-2005, 
Scienze Geologiche} \\

%\centerline{P. Acquistapace, V.M. Tortorelli}



\centerline{IV foglio di esercizi: P.Acquistapace,  V.M. Tortorelli, dal 28 ottobre al  4 novembre 2004}


\noindent{\pic http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html  --$\scriptstyle {\!>}$ 
ALTRI CORSI DI LAUREA --$\scriptstyle{ \!>}$ Corso di laurea *****}

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ESERCIZIO n. 1 - Si scriva in forma parametrica il segmanto parallelo al vettore
 dall'origine a $(1,2,3)$, passante per $(4,5,6)$ e lungo $14$.

\noindent - Si scriva in forma parametrica il triangolo di vertici $(1,2,3)$, $(4,6,8)$, 
$(5,7,9)$.

\noindent - Si trovino due numeri reali $a,~b$ per cui $(1,2)= a(1,1) +b (2,1)$.
Si mostri che sono unici.

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ESERCIZIO n. 2  Si provi che le rette $X=P+tQ$, $t\in \R$ e
$X=A+sB$, $s\in \R$ sono  parallele se e solo se esiste 
$\lambda\in \R$, non nullo,  tale che $Q=\lambda B$.


%\noindent - Si che i piani di equazioni parametriche $X=P+tQ +\tau R$, 
%$t,~ \tau\in \R$ e
%$X=A+sB +\sigma C$, $s, ~\sigma\in \R$ sono fra loro paralleli 
%se e solo se $B$ e $C$ sono nel piano per l'origine, $Q$ ed $R$





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\noindent OSSERVAZIONE

\noindent {\bf Prodotto scalare} Dalle formula di addizione per le funzioni trigonometriche, 
indicando con $\vert (x,y)\vert =\sqrt{ x^2+y^2}$ la distanza dall'origine $O$ del punto di coordinate $(x,y)$
si ha che dato due punti $P$ e $Q$ nel piano di coordinate rispettivamente 
 $(a,b)$ e $(\alpha , \beta)$ 

\smallskip 

$a\cdot \alpha +b\cdot\beta = \vert P\vert \vert Q\vert \cos \theta$
~~~~~~~~~~ ove $\theta$ \`e la misura in radianti dell'angolo $POQ$.

\noindent Del tutto analogamente dati due punti nello spazio di coordinate 
$(a,b, c)$ e $(\alpha , \beta , \gamma )$ si ha 
\smallskip 

$a\cdot \alpha +b\cdot\beta +c\cdot\gamma = 
\vert P\vert \vert Q\vert \cos \theta$

\smallskip 

\noindent ove qui $\vert (x,y,z)\vert=\sqrt{x^2+ y^2 +z^2}$ e 
$\theta$ \`e la misura dell'angolo $POQ$ nel piano
$POQ$.
\smallskip

\noindent DEFINIZIONE:  dati due vettori $P$ e $Q$ nel piano (o nello spazio) la {\it somma 
 dei prodotti delle coordinate di egual posto} si dice prodotto scalare tra i due vettori.
Esso si indica con $(P\cdot Q)$ o $P\bullet Q$. Quindi $P\bullet P= \vert P\vert^2$.
 Si ha la diseguaglianza  notevole: 
$-\vert P\vert\cdot \vert Q\vert\le P\bullet Q \le \vert P\vert\cdot \vert Q\vert$.

\noindent L'equazione come luogo di zeri che individua una retta nel 
piano ovvero  un piano nello spazio non dice altro che si considerano 
i punti $(x,y,z)$  che hanno un prodotto scalare di valore costante $d$
con un vettore prefissato $(a,b,c)$: $ax+by+cz=d$. Semipiani e semispazi
vengo invece individuati dalle relative diseguaglianze.



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ESERCIZIO n. 3 - Determinare l'equazione della retta passante per $(2,-1)$ e perpendicolare alla retta
di equazione $4x-3y+12=0$.


\noindent -Determinare la retta passante per $(0,0)$ e per il centro
di $x^2+y^2-2x+y=0$.


\noindent - Si calcoli la distanza del punto $(-3,2)$ dalla retta di equazione
$4x-3y+12=0$.



\noindent - Si calcoli la distanza del punto $(-3,2,
-1)$ dal piano di equazione
$4x-3y+2z -12=0$.


\noindent - Si determini come luogo di zeri il piano parallelo ai vettori 
dall'origine a $(1,2,3)$ 
e $(4,5,6)$ e passante per $(7,8,9)$.


\noindent - Si determini come luogo di zeri il piano passante per  
 $(1,2,3)$, $(4,5,6)$ e $(7,8,9)$.




\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESERCIZIO n. 4  - Verificare che gli insiemi
$\{(x,y)\in \R^2:\ |x|\le 1,\ |y|\le 1\}, \ \{(x,y)\in \R^2: \
|x|+|y|\le 1\}$
sono quadrati; determinarne i vertici e le lunghezze dei lati.

\noindent - Che poliedri individuano gli insiemi 
$\{(x,y,z):\ |x|\le 1,\ |y|\le 1,\ \vert z \vert \le 1\}$, 
 $\{ (x,y,z): \vert x\vert +\vert y\vert +\vert z\vert\le 1\}$. 
Qual'\`e la distanza dall'origine delle facce del secondo?

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESERCIZIO n. 5 - Si suddivida il segmento di estremi $(1,2)$ e $(2,1)$ in quattro parti
di egual lunghezza mediante i tre punti $P,Q,R$. Si calcolino le coordinate
di tali punti.

\noindent - Dati $P=(-2,5)$ e $Q=(4,13)$, trovare le coordinate di un punto $R$
sul segmento $PQ$ tale che $|P-R|=2\ |Q-R|$.


\noindent - Se $R=(2,3,2)$ \`e punto medio del segmento $PQ$ e  $P=(7,5,6)$, trovare
 le coordinate di $Q$.

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESERCIZIO n. 6 Dimostrare che per ogni $P,~Q$ si ha $|P-Q|^2 = |P|^2 + |Q|^2 - 2\ P\bullet Q $.



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESERCIZIO n. 7 - Provare che il triangolo di vertici $(2,-1)$, $(4,2)$ e $(5,1)$ \`e
isoscele.

\noindent - Provare che il triangolo di vertici $(-3,3)$, $(-1,3)$ e $(11,-1)$ \`e
rettangolo.

\noindent -  Calcolare la lunghezza della mediana uscente dal punto $A$ relativa al
triangolo $ABC$, ove $A=(-1,1)$, $B=(0,-6)$, $C=(-10,-2)$.

\noindent -  Scrivere l'equazione  del luogo dei punti che sono
equidistanti da $(0,2)$ e
$(2,1)$.



\noindent -  Scrivere l'equazione del luogo dei punti che sono
equidistanti dai punti $(0,2,1)$ e
$(2,1,3)$.



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESERCIZIO n.8 - Si provi che le rette $ax+by+c=0$ e $a'x+b'y+c'=0$ sono
 parallele se e solo se esiste $\lambda \in \R$ tale che 
$a'=\lambda a$ e $b'=\lambda b$.

\noindent - Si provi che le rette  $ax+by+c=0$ e $a'x+b'y+c'=0$ sono
 perpendicolari se e solo se esiste $\lambda\in \R$ tale che 
$\lambda a=-b'$, $\lambda b=a'$.


\noindent -  Si provi che: le rette $X=P+tQ$, $t\in \R$, e $ax+by+c=0$
sono  perpendicolari se e solo se i vettori $Q$ e $(a,b)$ sono
proporzionali; parallele se e solo se $Q$ e $(b,-a)$ sono
proporzionali.

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\noindent OSSERVAZIONE

\noindent {\bf Orientazione.} Intuitivamente due coppie {\it ordinate} di 
 vettori (non nulli e non paralleli) nel piano si dicono con 
la stessa orientazione 
 se i secondi spazzano l'angolo convesso verso i primi nello ``stesso senso''.
%Questa nozione \`e {\it relativa}, non \`e cio\`e un propriet\`a di una coppia ordinata
% ma una relazione tra due coppie ordinate.
Si scrive $O(v,w)=1$ rispettivamente 
$O(v,w)=-1$, se la coppia di vettori del piano ha la stessa orientazione 
della coppia ``canonica'' $((1,0),(0,1))$.  
%Se i due vettori sono paralleli o nulli si pone $O(v,w)=0$.

\noindent {\bf Area orientata e determinante} Data $(v,w)$ 
 si considera il parallelogramma ${\bf P}$
% $P=P(O,v,w)$ 
 di vertici $O$, $v$, $w$, $v+w$  generato. La  
 quantit\`a $d(v,w) = O(v,w) Area ({\bf P})$ ha le  propriet\`a:  

 

\centerline{
$d(v,w) =- d(w,v)$ (alternante),}

\centerline{ 
$d(v+tu,w)= d(v,w) + td(u, w)$, $d(v,w +tu)= d(v,w) + td(v, u)$ (bilineare)\\  
}

\smallskip

\noindent {\pic La seconda propriet\`a si deduce da tre fatti: 
$\scriptstyle{ d(tu, w)= td(u,w)}$ 
(variando una dimensione l'area  varia dello stesso fattore), 
  $\scriptstyle{ d(v+tw,w)= d(v,w)}$
  (parallegrammi con stessa base ed altezza hanno
 stessa area),  
 ogni $\scriptstyle{u}$ si scrive come $\scriptstyle{sv +\sigma w}$ 
(a parte i casi ``degeneri'').}

\noindent - Analoghe considerazioni intuitive si fanno per $3$ vettori ordinati 
in $\R^3$ riferendosi al volume orientato del parallelepipedo da essi individuato. 
Nel caso alternante vuol dire che se si scambiano due vettori della terna ordinata 
tra loro si cambia segno. 

%%L epropriet\`a astratte da tali osservazioni qualitative sono le seguenti:

%%\noindent {\bf Forme $k$-lineari alternanti.} Una funzione reale 
%%di $k$ vettori di $\R^n$,  $\Lambda : \R^n \times \dots\times \R^n\rightarrow \R$ 
%% si dice:
%%\vbox{
%%\centerline{
%%\begin{tabular}{|l|}
%%\hline
%%~\\
%%alternante se $\Lambda ( \dots v , \dots  w \dots ) =- \Lambda (\dots w,\dots v\dots )$\\
%%~\\
%%$k$-lineare se ~~$\Lambda(\dots v+tu,\dots )= \Lambda(\dots v,\dots ) + t\Lambda (\dots u \dots)$ 
%%\\  
%%~\\
%%\hline
%%\end{tabular}
%%}
%%}


\noindent {\bf Proposizione} - Esiste un'unica funzione di coppie ordinate di vettori del piano cartesiano che sia
 bilineare, alternante e che valga $1$in $((1,0),(0,1))$: essa associa a
$(P,Q)=((a,b), (\alpha , \beta))$ il numero $a\cdot\beta - b\cdot \alpha $.

\noindent - Analogamente esiste un'unica funzione di terne ordinate di vettori dello spazio cartesiano che sia
 trilineare, alternante e che valga $1$ in $((1,0,0),(0,1,0), (0,0,1))$:

\noindent $(P,Q,R)=((a,b,c), (\alpha ,\beta , \gamma ), (A, B, C)))\mapsto 
a (\beta C - \gamma B) - \alpha  (b C - cB )
+ A (b\gamma -\beta c)=$

\hfill $= a (\beta C - \gamma B) - b (\alpha C- A\gamma) 
+ c (\alpha B - A\beta)$~~~~~~~

%In $\R^2$, avendo fissato cio\`e un sistema di riferimento nel piano, vi \`e una coppia di paragone privilegiata:
%si dir\`a che una coppia ordinata di vettori di $\R^2$: $(a,b)$ il primo , $(\alpha , \beta)$ 
%il secondo (non nulli e non paralleli) ha orientazione positiva 
% se ha la stessa orientazione della coppia dei vettori coordinati ${\bf e}_1=(1,0) ,~
% {\bf e}_2=(0,1)$, negativa altrimenti. 


%Come dare una definizione precisa in termini delle solo coordinate dei vettori in questione 
%di tale nozione? 

\noindent DEFINIZIONE: data una coppia ordinata $(P,Q)$  di vettori nel piano cartesiano 
o una terna ordinata $(P,Q,R)$ di vettori nello spazio cartesiano tali numeri sono detti 
{\it determinanti}, ed indicati rispettivamente con $det (P,Q)$ e $det (P,Q,R)$.


\noindent DEFINIZIONE:  una coppia ordinata di vettori di $\R^2$, o una terna 
ordinata di vettori in ${\bf R}^3$, si dicono avere {\it  orientazione positiva}
se il loro determinante \`e positivo.

\noindent DEFINIZIONE: dati $Q=(\alpha ,\beta , \gamma)$, $R=(A , B, C)$ non nulli ne paralleli  il vettore 
  $Q\wedge R=_{def}(\beta C - \gamma B, -  (\alpha C- A\gamma) , \alpha B - A\beta)$ si dice 
  prodotto vettore. 
Si ha $det (X,R,Q)=X\bullet Q\wedge R$.

\noindent - $Q\wedge R$ \`e ortogonale a $Q$ ed $R$; ~~ $(Q\wedge R, Q, R)$ 
ha orientazione positiva, come $(Q, R, Q\wedge R)$.


\noindent Come per il prodotto scalare si ha: 

\noindent - nel piano $det (P, Q)=\vert P\vert \vert Q\vert  \sin \theta$, 
($\theta $ \`e  la misura dell'angolo $POQ$ orientato)

\noindent -  nello spazio
$\vert P\wedge Q\vert =\vert P\vert \vert Q\vert \vert \sin \theta\vert$

\noindent 
%qui $\theta $ \`e  la misura dell'angolo $POQ$. 
\`E l' area del parallelograma 
 di vertici $O,~ P,~ Q,~ P+Q$ 
.
% moltiplicata $-1$ 
%se la coppia ha orientazione negativa.



\noindent Con un minimo di fatica si prova che 
 il modulo del determinante coincide con le altre nozioni di area o di volume. 

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\noindent ESERCIZIO n. 9 - Si calcoli l'area del triangolo di vertici $(1,2)$, $(6,7)$, $(-1 , 3)$.


\noindent - Si calcoli il volume del parallelepipedo nello spazio di vertici
$(1,1,1)$, $(2,2,3 )$, $(3,2,2 )$, $(2,3,2)$, $(5,5,5)$.

\noindent - Si determini l'area del triangolo con vertici l'origine, 
 $(1,1,1)$ e la proiezione ortogonale di questo sul piano per l'origine e 
i punti  $(1,2,2 )$, $(2,2,1 )$.

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\noindent ESERCIZIO n. 10  - Si provi che i quattro punti $(1,1,1)$, $(3,2,2)$, $(2,3,2)$, $(4,4,3)$ 
giacciono su uno stesso piano. 

\noindent - Si calcolino le aree dei tre parallelogrammi 
 ottenuti proiettando ortogonalmente 
sui piani coordinati il parallelogramma, nello spazio, 
 di vertici $(1,1,1)$, $(3,2,2)$, $(2,3,2)$, $(4,4,3)$.

\noindent - Si verifichi che la radice quadrata della 
somma dei quadrati delle precedenti aree \`e eguale all'area 
 del parallelogramma nello spazio.

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\noindent ESERCIZIO n. 11 - Si provi che due vettori, $
(a,b)$ e $(\alpha , \beta)$, sono uno multiplo dell'altro se e solo se 
$a\beta-b\alpha =0$.

\noindent - Dimostrare che il sistema 
$\left\{ \begin{array}{l} ax+by+c=0 \\ 
\alpha x+\beta y+ \gamma=0 \end{array} \right. $ per ogni dato $(c, \gamma )$
 \`e risolubile univocamente se e solo se risulta $a\beta-b\alpha\neq 0$; in tal caso
se ne scriva la soluzione $(x,y)$.



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\noindent ESERCIZIO n. 12 - Si trovino le soluzioni del sistema $\left\{ \begin{array}{l} x+y+2z= 1 \\ 
2 x+2 y+ z=1 \\ 
-x-y +z =1 \end{array} \right. $

\noindent - Si trovino le soluzioni del sistema $\left\{ \begin{array}{l} x+y+2z= 2 \\ 
2 x+2 y+ z=1 \\ 
-x-y +z =1 \end{array} \right. $
 

\noindent - Si trovino le soluzioni del sistema $\left\{ \begin{array}{l} x+y+2z= 0 \\ 
2 x+2 y+ 2z=0 \\ 
-x-y -z =0 \end{array} \right. $
 


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 13 - Due vettori nello spazio sono uno multiplo dell'altro se e solo se 
il loro prodotto vettore \`e nullo.


\noindent - Si verifichi che dati due vettori nello spazio $(\alpha , \beta , \gamma)$ e 
$(A, B, C)$ il vettore individuato dalla terna  
$( det( ( \beta , \gamma), (B,C)) , - det( ( \alpha , \gamma), (A,C)) ,
det( (\alpha , \beta ), (A,B)))$ \`e ortogonale ai due vettori.

\noindent - Si deduca dal precedente punto che tre vettori nello spazio  
stanno sullo stesso piano passante per l'origine se e solo se il determinante 
delle loro coordinate \`e nullo.

\noindent - Si provi che il sistema   $\left\{ \begin{array}{l} ax+by+cz= d \\ 
\alpha x+\beta y+ \gamma z=\delta \\ 
Ax+ By +Cz =D \end{array} \right. $ ha un'unica soluzione per ogni dato $(d, \delta , D)$ 
se e solo se $det ((a,b,c) ,(\alpha , \beta , \gamma ), (A ,B, C))\not= 0$.


\noindent - Per quali dati$(d, \delta , D)$ \`e risolubile se invece il determinante \`e nullo?

\end{document}






