Matematica, Anno Accademico 2004-2005, Scienze Geologiche V foglio di esercizi: P.Acquistapace, V.M. Tortorelli dal 28 ottobre 2003 al 4 novembre 2004

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————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Scrivere in fissate coordinate cartesiane (e come funzione delle coordinate (x, y) del punto da trasformare) le seguenti trasformazioni affini del piano o dello spazio:

- simmetria rispetto al punto (1, 2)

- simmetria rispetto alla generica retta passante per l’origine

- simmetria rispetto alla retta passante per (2, 3) e parallela a (3, 4)

- rotazione antioraria di un sesto di ‘angolo giro’ attorno all’origine

- rotazione antioraria di un ottavo di ‘angolo giro’ attorno al punto (4, 5)

- simmetria rispetto al punto (1, 2, 3)

- simmetria rispetto al piano x − y + z = 0

- simmetria rispetto al piano x − y + z = 3

- rotazione antioraria di un angolo retto attorno all’asse verticale (0, 0, 1)

- rotazione di un angolo retto attorno all’asse orientato positivamente dall’origine a (1, 1, 1) in senso antiorario. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Scrivere in fissate coordinate cartesiane (e come funzione delle coordinate (x, y) del punto da trasformare) le seguenti trasformazioni affini dal piano o dello spazio:

- la dilatazione di centro (1, 1) e fattore di scala \frac{1}{2};

- la dilatazione anisotropa di centro (1, 1) e fattore di scala \frac{1}{2} nella direzione (1, 2) e fattore 2 nella direzione (2, 1).

- dilatazione anisotropa di centro l’origine e fattori di scala 2, 4, − 1 rispettivamente nelle direzioni (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 2, 3) ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 A che trasformazioni del piano o dello spazio corrsipondono le seguenti funzioni: (x, y) ↦ (−y, x),(\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y + 1, \frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y − 1), (x − y, x + y); (x, y, z) ↦ (x, −y, −z), (x, y, 0), (\frac{1}{2}x, 2y, 0) ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 - Date due rette nel piano che trasformazione si ottiene facendo prima la simmetria rispetto ad una di esse e quindi la simmetria rispetto la seconda?

- Scambiando l’ordine di queste simmetrie quando si ottiene lo stesso risultato? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Una trasformazione che manda ogni retta in un’altra retta parallela alla prima e non lascia nessun punto fisso del piano è una traslazione.

- Una trasformazione che manda ogni retta in un’altra retta parallela alla prima e lascia un punto del piano fisso è una dilatazione rispetto ad un punto. -Dati due segmenti paralleli quante sono le traslazioni e le dilatazioni che trasformano uno nell’altro? -Dati quattro punti A ≠ B, C ≠ D vi è un’unica traslazione o dilatazione che trasforma A in C e B in D. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari bigettive che trasformano x^{2} + y^{2} = 1 in se? -Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari bigettive che trasformano |x| + |y| = 1 in se?

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Siano a, b ∈ R tali che a^{2} + b^{2} = 1. La funzione R : R^{2} → R^{2}, definita da

R(x, y) = (ξ, η), ξ = ax + by, η = −bx + ay,

definisce una rotazione del piano (attorno all’origine). Si provi che:

(i) si ha ξ^{2} + η^{2} = x^{2} + y^{2} per ogni (x, y) ∈ R^{2};

(ii) posto U = R(1, 0), V = R(0, 1), le rette per O, U e per O, V formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato positivamente;

(iii) posto (ξ′, η′) = R(x′, y′), si ha (ξ − ξ′)^{2} + (η − η′)^{2} = (x − x′)^{2} + (y − y′)^{2} per ogni (x, y), (x′, y′) ∈ R^{2}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Siano a, b ∈ R tali che a^{2} + b^{2} = 1. La funzione S : R^{2} → R^{2}, definita da

S(x, y) = (ξ, η), ξ = ax + by, η = bx − ay,

definisce una simmetria del piano (rispetto all’origine). Si provi che:

(i) si ha ξ^{2} + η^{2} = x^{2} + y^{2} per ogni (x, y) ∈ R^{2};

(ii) posto U = S(1, 0), V = S(0, 1), le rette per O, U e per O, V formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato negativamente;

(iii) posto (ξ′, η′) = S(x′, y′), si ha (ξ − ξ′)^{2} + (η − η′)^{2} = (x − x′)^{2} + (y − y′)^{2} per ogni (x, y), (x′, y′) ∈ R^{2}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.9 Si provi che tutte e sole le trasformazioni lineari del piano che conservano il prodotto scalare sono le isometrie lineari (rotazioni e riflessioni). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10^{∗∗} Le trasformazioni T bigettive del piano che mandano rette in rette sono tutte e sole le trasformazioni affini (T (x, y) − T (0, 0) è lineare) e bigettive. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11^{∗∗} Le trasformazioni del piano che conservano le distanze sono affini e la loro parte lineare è data da matrici con colonne ortogonali di norma 1, che rappresentano rotazioni e riflessioni. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.12 Le trasformazioni lineari del piano che conservano gli angoli tra due semirette sono tutte e sole quelle del tipo (x, y) ↦ (ax + by, −bx + ay), (ax + by, bx − ay). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 13 Si considerino i luoghi dei punti di R^{2} descritti dalle seguenti equazioni:

(i) x^{2} + y^{2} − 1 = 0, (v) x^{2} + y^{2} + xy = 0,
(ii) x^{2} + y^{2} = 0,  (vi) x^{2} − y^{2} = 0,
(iii) x^{2} + y^{2} + 1 = 0, (vii) x^{2} + y^{2} + 2x + 2y + 2 = 0,
(iv) x^{2} + y^{2} + 2xy = 0, (viii) (x^{2} − 1)^{2} + y^{2} = 0,

e si riconosca quale delle precedenti equazioni rappresenta:

(a) nessun punto,  (d) una retta,
(b) un punto,  (e) due rette,
(c) due punti,  (f) una circonferenza.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 14 Riconoscere che tipo di coniche definiscono rispettivamente i seguenti luoghi di zeri: x^{2} +y^{2} +2xy = 0, xy = 1, (x−y)^{2} = (x+y)^{2}, x^{2} +y^{2} −6xy −x+4 = 0, xy −23y +8y −1 = 0, 3x^{2} + 2y^{2} − 3xy + x + y − 100 = 0. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 15 Verificare che:

- un ellisse è il luogo dei punti con somma delle distanze da due punti fissi costante;

- un iperbole è il luogo dei punti con differenza delle distanze da due punti fissi costante;

- una parabola è il luogo dei punti equidistanti da una retta fissa e da un punto fisso. ————————————————————————————————————————– OSSERVAZIONE si può verificare dando la nozione di tangenza che se una retta interseca una conica non degenere in un sol punto è ad essa tangente in quel punto. DEFINIZIONE - Si dice cammino di riflessione rispetto ad una retta per un suo punto l’unione di due semirette (lati) con origine nel punto e simmetriche rispetto all’asse perpendicolare alla retta nel punto.

- Un cammino di riflessione rispetto ad un insieme in un suo punto è un cammino di riflessione rispetto all’eventuale retta tangente all’insieme dato in questo suo punto. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 16 Verificare che:

- i cammini di riflessione rispetto ad una parabola con un lato parallelo all’asse della stessa hanno l’altro che passa per il fuoco della parabola;

- i cammini di riflessione rispetto ad un’elisse che hanno un lato che passa per un fuoco hanno il secondo lato che passa per l’altro fuoco;

- i cammini di riflessione rispetto ad un iperbole che hanno un lato passante per un fuoco hanno prolungamento del secondo lato passante per l’altro fuoco. ————————————————————————————————————————–

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