\documentstyle [12pt]{article}
\pagestyle{empty}

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\oddsidemargin=-0.5cm
\textwidth=16.6cm
\textheight=25cm
\newcommand{\R}{{\bf R}}
\newcommand{\N}{{\bf N}}
\begin {document}

\centerline{\bf  Matematica, Anno Accademico 2004-2005, 
Scienze Geologiche} \\

\centerline{V foglio di esercizi: P.Acquistapace,  V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 28 ottobre 2003 al  4 novembre 2004}


\noindent{\pic http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html  --$\scriptstyle {\!>}$ 
ALTRI CORSI DI LAUREA --$\scriptstyle{ \!>}$ Corso di laurea *****}


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ESERCIZIO n. 1 Scrivere in fissate coordinate cartesiane 
 (e come funzione delle coordinate $(x,y)$ del punto da trasformare)
le seguenti trasformazioni affini del piano o dello spazio:

\noindent - simmetria rispetto al punto $(1,2)$

\noindent - simmetria rispetto alla generica retta passante per l'origine

\noindent - simmetria rispetto alla retta passante per $(2,3)$ e parallela a $(3,4)$

\noindent - rotazione antioraria di un sesto di `angolo giro' attorno all'origine

\noindent - rotazione antioraria 
di un ottavo di `angolo giro' attorno al punto $(4,5)$

\noindent - simmetria rispetto al punto $(1,2,3)$

\noindent - simmetria rispetto al piano $x-y+z=0$

\noindent - simmetria rispetto al piano $x-y+z=3$

\noindent - rotazione antioraria 
di un angolo retto attorno all'asse verticale $(0,0,1)$

\noindent - rotazione di un angolo retto attorno all'asse 
orientato positivamente dall'origine a $(1,1,1)$  in senso antiorario.



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ESERCIZIO n. 2 Scrivere in fissate coordinate cartesiane 
 (e come funzione delle coordinate $(x,y)$ del punto da trasformare)
le seguenti trasformazioni affini dal piano o dello spazio:

\noindent - la dilatazione di centro $(1,1)$ e fattore di scala $\frac 12$;

\noindent - la dilatazione anisotropa di centro $(1,1)$ e fattore di scala 
$\frac 12$ nella direzione $(1,2)$ e fattore $2$ nella direzione $(2,1)$.

\noindent - dilatazione anisotropa di centro l'origine e fattori di scala $2,~ 4,~ -1$
 rispettivamente nelle direzioni $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(1,2,3)$

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ESERCIZIO n. 3  A che trasformazioni del piano o dello spazio
 corrsipondono le seguenti funzioni:
 $(x,y)\mapsto (-y ,x)$,$ (\frac 35 x+ \frac 45 y +1,\frac 45 x + \frac 35 y-1)$, $(x-y ,x+ y)$;
 $(x,y,z)\mapsto (x, -y, -z)$, $(x,y,0)$, $(\frac 12 x , 2y ,0)$




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ESERCIZIO n. 4  - Date due rette  nel piano 
che trasformazione si ottiene facendo prima la simmetria rispetto 
ad una di esse e quindi la simmetria rispetto la seconda?

\noindent - Scambiando l'ordine di queste simmetrie quando si ottiene lo stesso risultato?





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ESERCIZIO n. 5 Una trasformazione che manda ogni retta 
in un'altra retta parallela alla prima e 
non lascia nessun punto fisso del piano \`e una traslazione.

\noindent - Una trasformazione che manda ogni retta 
in un'altra retta parallela alla prima e lascia un punto del piano fisso
 \`e una dilatazione rispetto ad un punto.

\noindent -Dati due segmenti paralleli quante sono le traslazioni e le dilatazioni
 che trasformano uno nell'altro?

\noindent -Dati quattro punti $A\not= B$, $C\not= D$ vi \`e un'unica traslazione o dilatazione che trasforma $A$ in $C$ e $B$ in 
$D$.

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ESERCIZIO n. 6 Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari bigettive 
che trasformano $x^2+y^2=1$ in se?

\noindent -Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari bigettive 
che trasformano $\vert x\vert +\vert y\vert =1$ in se?

%\noindent -Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari bigettive
%che trasformano $ x^2+4y^2 +4xy +x+y+1=0 $ in se?
\medskip

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ESERCIZIO n. 7 Siano $a,b\in \R$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $R:\R^2\to \R^2$,
definita da 
$$R(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= -bx+ay,$$
definisce una {\em rotazione} del piano (attorno all'origine). Si provi che:
\begin{description}
\item[\rm{(i)}] si ha $\xi^2+\eta^2 = x^2+y^2$ per ogni $(x,y)\in \R^2$;
\item[\rm{(ii)}] posto $U=R(1,0)$, $V=R(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per
$O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato
positivamente;
\item[\rm{(iii)}] posto $(\xi',\eta') = R(x',y')$, si ha $(\xi-\xi')^2 +
(\eta - \eta')^2 = (x-x')^2+ (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in \R^2$. 
\end{description}

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ESERCIZIO n. 8 Siano $a,b\in \R$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $S:\R^2\to \R^2$,
definita da 
$$S(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= bx-ay,$$
definisce una {\em simmetria} del piano (rispetto all'origine). Si provi che:
\begin{description}
\item[\rm{(i)}] si ha $\xi^2 + \eta^2 = x^2 + y^2$ per ogni $(x,y)\in \R^2$;
\item[\rm{(ii)}] posto $U=S(1,0)$, $V=S(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per
$O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato
negativamente;
\item[\rm{(iii)}] posto $(\xi',\eta')=S(x',y')$, si ha $(\xi - \xi')^2 +
(\eta - \eta')^2 = (x-x')^2 + (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in \R^2$.
\end{description}

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ESERCIZIO n.9 Si provi che tutte e sole le trasformazioni lineari
 del piano che conservano il prodotto 
 scalare sono le isometrie lineari (rotazioni e riflessioni).




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ESERCIZIO n. 10$^{\bf **}$ 
Le trasformazioni $T$ bigettive del piano che mandano 
rette in rette sono  tutte e sole le trasformazioni  affini ($ T(x,y) -T(0,0)$ 
\`e lineare) e bigettive.  


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ESERCIZIO n. 11$^{\bf **}$ Le trasformazioni 
del piano che conservano le distanze sono affini e la loro parte lineare \`e data
 da matrici con colonne ortogonali di norma $1$, che rappresentano 
rotazioni e riflessioni. 




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ESERCIZIO n.12 Le trasformazioni lineari del piano che conservano gli angoli tra 
due semirette sono tutte e sole quelle del tipo 
$(x, y)\mapsto (ax+ by , -bx +ay), ~(ax+ by , bx -ay)$.



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ESERCIZIO n. 13 Si considerino i luoghi dei punti di $\R^2$ descritti dalle
seguenti equazioni:
$$\begin{array}{llll} \textrm{(i)} & x^2+y^2-1=0, & \textrm{(v)} &
x^2+y^2+xy=0,\\
\textrm{(ii)} & x^2+y^2=0, & \textrm{(vi)} & x^2-y^2=0,\\
\textrm{(iii)} & x^2+y^2+1=0, & \textrm{(vii)} & x^2+y^2+2x+2y+2=0,\\
\textrm{(iv)} & x^2+y^2+2xy=0, & \textrm{(viii)} & (x^2-1)^2+y^2=0,
\end{array}$$
e si riconosca quale delle precedenti equazioni rappresenta:
$$\begin{array}{llll} \textrm{(a)} & \textrm{nessun punto,} \qquad \qquad &
\qquad \textrm{(d)} & \textrm{una retta,}\\
\textrm{(b)} & \textrm{un punto,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(e)} &
\textrm{due rette,}\\ 
\textrm{(c)} & \textrm{due punti,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(f)} &
\textrm{una circonferenza.}\end{array}$$





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ESERCIZIO n. 14 Riconoscere che tipo di coniche definiscono rispettivamente 
i seguenti luoghi di zeri:

\noindent $x^2+y^2 +2xy =0$, $xy=1$, $(x-y)^2=(x+y)^2$,
 $x^2 +y^2 -6 xy -x +4=0$, $xy -23y +8y -1=0$, $3x^2 +2y^2 -3xy +x+y -100=0$. 

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ESERCIZIO n. 15  Verificare che:

\noindent - un ellisse \`e il luogo dei punti con somma delle distanze da due punti fissi
 costante;

\noindent - un iperbole \`e il luogo dei punti con differenza delle distanze 
da due punti fissi costante;

\noindent - una parabola \`e il luogo dei punti equidistanti da una retta fissa 
e da un punto fisso.

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 OSSERVAZIONE si pu\`o verificare dando 
la nozione di tangenza che se una retta interseca una conica non degenere 
 in un sol punto \`e ad essa tangente in quel punto.

\noindent DEFINIZIONE - Si dice cammino di riflessione rispetto 
ad una retta per un suo punto l'unione di due semirette (lati) con origine 
nel punto e simmetriche rispetto all'asse perpendicolare alla retta nel punto.

\noindent - Un cammino di riflessione rispetto ad un insieme in un suo punto 
 \`e un cammino di riflessione rispetto 
 all'eventuale retta tangente all'insieme dato in questo suo punto.



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ESERCIZIO n. 16 Verificare che:

\noindent -  i cammini di riflessione rispetto ad una parabola 
 con un lato parallelo all'asse della stessa hanno l'altro che passa 
per il fuoco della parabola;

\noindent - i cammini di riflessione rispetto ad un'elisse che hanno 
un lato che passa per un fuoco hanno il secondo lato che passa per l'altro fuoco;

\noindent - i cammini di riflessione rispetto ad un iperbole 
 che hanno un lato passante per un fuoco hanno 
prolungamento del secondo lato passante per l'altro fuoco.


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%ESERCIZIO n.  seno e coseno iperbolico come coordinate sull'iperbole equilatera 



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%ESERCIZIO n. Quali regioni dello spazio vengono trasformate in se stesse 
%solamente da tutte rotazioni rispetto ad una retta passante per l'origine?

%- Quali regioni dello spazione vengono trasformate in se stesse 
%da tutte le simmetrie rispetto ai piani coordinati?

\end{document}
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ESERCIZIO n. 15 



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ESERCIZIO n. 16 






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ESERCIZIO n. 17 Si considerino i luoghi dei punti di $\R^2$ descritti dalle
seguenti equazioni:
$$\begin{array}{llll} \textrm{(i)} & x^2+y^2-1=0, & \textrm{(v)} &
x^2+y^2+xy=0,\\
\textrm{(ii)} & x^2+y^2=0, & \textrm{(vi)} & x^2-y^2=0,\\
\textrm{(iii)} & x^2+y^2+1=0, & \textrm{(vii)} & x^2+y^2+2x+2y+2=0,\\
\textrm{(iv)} & x^2+y^2+2xy=0, & \textrm{(viii)} & (x^2-1)^2+y^2=0,
\end{array}$$
e si riconosca quale delle precedenti equazioni rappresenta:
$$\begin{array}{llll} \textrm{(a)} & \textrm{nessun punto,} \qquad \qquad &
\qquad \textrm{(d)} & \textrm{una retta,}\\
\textrm{(b)} & \textrm{un punto,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(e)} &
\textrm{due rette,}\\ 
\textrm{(c)} & \textrm{due punti,} \qquad \qquad & \qquad \textrm{(f)} &
\textrm{una circonferenza.}\end{array}$$






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ESERCIZIO n. 18 Si verifichi che ogni angolo convesso \`e l'intersezione di due
semipiani.











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ESERCIZIO n. 19 Si provi che ogni triangolo in $\R^2$ \`e l'intersezione di tre
semipiani.



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ESERCIZIO n. 20 Si provi che ogni quadrilatero in $\R^2$ \`e l'intersezione di
quattro semipiani.


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ESERCIZIO n. 21   Verificare che gli insiemi
$$A=\{(x,y)\in \R^2:\ |x|\le 1,\ |y|\le 1\}, \ \ B=\{(x,y)\in \R^2: \
|x|+|y|\le 1\}$$
sono quadrati; determinarne i vertici e le lunghezze dei lati.

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ESERCIZIO n. 22 Siano $a,b\in \R$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $R:\R^2\to \R^2$,
definita da 
$$R(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= -bx+ay,$$
definisce una {\em rotazione} del piano (attorno all'origine). Si provi che:
\begin{description}
\item[\rm{(i)}] si ha $\xi^2+\eta^2 = x^2+y^2$ per ogni $(x,y)\in \R^2$;
\item[\rm{(ii)}] posto $U=R(1,0)$, $V=R(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per
$O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato
positivamente;
\item[\rm{(iii)}] posto $(\xi',\eta') = R(x',y')$, si ha $(\xi-\xi')^2 +
(\eta - \eta')^2 = (x-x')^2+ (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in \R^2$. 
\end{description}

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ESERCIZIO n. 23 Siano $a,b\in \R$ tali che $a^2+b^2=1$. La funzione $S:\R^2\to \R^2$,
definita da 
$$S(x,y) = (\xi, \eta), \qquad \xi=ax +by, \quad \eta= bx-ay,$$
definisce una {\em simmetria} del piano (rispetto all'origine). Si provi che:
\begin{description}
\item[\rm{(i)}] si ha $\xi^2 + \eta^2 = x^2 + y^2$ per ogni $(x,y)\in \R^2$;
\item[\rm{(ii)}] posto $U=S(1,0)$, $V=S(0,1)$, le rette per $O$, $U$ e per
$O$, $V$ formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato
negativamente;
\item[\rm{(iii)}] posto $(\xi',\eta')=S(x',y')$, si ha $(\xi - \xi')^2 +
(\eta - \eta')^2 = (x-x')^2 + (y-y')^2$ per ogni $(x,y),(x',y')\in \R^2$.
\end{description}

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ESERCIZIO n. 24 Si provi che se $A,B$ sono vettori linearmente indipendenti in $\R^2$,
allora per ogni $P\in \R^2$ esiste un'unica coppia di numeri reali 
$\lambda, \mu$ tali che $P=\lambda A + \mu B$.


\end{document}






