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\newcommand{\N}{{\bf N}}
\begin {document}

\centerline{\bf  Matematica, Anno Accademico 2004-2005, 
Scienze Geologiche} \\

\centerline{VI foglio di esercizi: P.Acquistapace,  V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 23 novembre al  30 novembre 2004}


\noindent{\pic http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html  --$\scriptstyle {\!>}$ 
ALTRI CORSI DI LAUREA --$\scriptstyle{ \!>}$ Corso di laurea *****}


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ESERCIZIO n. 1 Usando la definizione di limite si mostri che quando 
$n\to \infty$ si ha $\frac 1n \to 0,~ n^4\to \infty,~ \log n\to \infty $.




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\noindent ESERCIZIO n. 2  Si calcolino per $n\to \infty$
 i limiti delle seguenti successioni al variare dei parametri $a\in{\bf R}$:
 $\frac {2^n}{n^3},~ \frac {\log n}{\sqrt{n}},~ 
\frac {n!}{a^n}, ~ \frac {n!}{n^a},~ \frac {n!}{n^n}, \frac {n!}{2^{n^2}}$. 


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 \noindent ESERCIZIO n. 3  ${\bf *}$ a-
Si provi che $^n\!\sqrt{n} \le \frac 2{\sqrt n} + 1 -\frac 2n$ (diseguaglianza 
tra media aritmetica e media geometrica).

\noindent b- Si provi che per $n\to\infty$ si ha $^n\!\sqrt{n}\to 1$.


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 \noindent ESERCIZIO n. 4 a-  ${\bf *}$ Si provi che se $b_n\to a$ allora la 
media geometrica e la media aritmetica dei primi $n$ termini tendono ad $a$ 
per $n\to \infty$.

\noindent b- Si provi che se $^n\!\sqrt{a_n}\to a\geq 0$ allora
 $a_n$ tende a $0$ se $a<1$ a $+\infty$ se $a>1$.

\noindent c- Si mostri con diversi esempi che se $a=1$ la successione
 $a_n$ pu\`o:  convergere a $0$,  a $+\infty$,  ad un numero 
diverso da $0$, o non convergere affatto.

\noindent d- Si provi che  se $\frac {a_{n+1}}{a_n}\to a$ allora
 $^n\!\sqrt{a_n}\to a$.

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 \noindent ESERCIZIO n. 5 Calcolare 
per $n\to\infty$ i limiti di:
 ${2n \choose n},~
\left(\frac {n^n (2n)!}{4^n (n-1)! n!(n+1)!}\right)^{\frac1n},~
 \left( \frac {n!}{n^n}\right)^{\frac 1n}$.



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 \noindent ESERCIZIO n. 6 Calcolare 
per $n\to\infty$ i limiti di:

\noindent  $^n\!\sqrt{\log n} ,~ ^n\!\sqrt{ 2^n +3^n},~
 ^{n^3}\!\sqrt{ 2^n +3^n}, ~^n\!\sqrt{ 2^n + (-1)^{n+1}}, 
~^n\!\sqrt{(-2)^n +3^n},~ ^n\!\sqrt{n!}$.



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ESERCIZIO n. 7 Calcolare 
per $n\to\infty$ i limiti di: 

\noindent $\sqrt{n+1} -\sqrt{n}, 
3^{n+1} -3^{\sqrt {n^2 +1}}, ~  ^3\!\sqrt{n+2}
 ^3\!\sqrt{n-1},~ \frac{\log (n+1)}{\log n}, ~\frac {2^n -10 n^{100}+\log n}
{20 n + 2^{\sqrt{n}}- \log n^10}$.


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\noindent ESERCIZIO n. 8  Calcolare 
per $n\to\infty$ i limiti di: $ \frac{\sin 2^n}{\sqrt{n}}, ~ 
\left(1 +\frac 1n\right)^{n}\left(1 -\frac {1}{\sqrt{n}}\right)^{n}$. 

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ESERCIZIO n. 9 Calcolare 
per $n\to\infty$ i limiti di:

\noindent $ n\sin\frac 1n ,~ n^2(1-\cos\frac 1n ),
~n(e^{\frac 1n} -1),~
n\tan\frac 1n ,~ n{\rm artan}\frac 1n ,~ \sqrt{n^2+n}\sin\tan\frac 1n ,~ 
n^2(1-\cos^2\frac 1n ),~ \left(\cos \frac 1n\right)^n,$

\noindent $ n\log (1+\frac 1n ),~ 
\left( 1+\frac 1n\right)^n, 
\frac{ {\rm arsin}\frac 1n \cdot \sin \frac 1n}{\cos^3 \frac 1n -1}$. 

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ESERCIZIO n. 10 Studiare la convergenza delle serie: $\sum \sin \frac 1n,~
\sum \cos \frac 1n -1,~ \sum \frac{\log n}{n^3}, 
~\sum \frac 1{\left(\log n\right)^{\log n}} $


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%ESERCIZIO n. 11 Studiare la convergenza delle serie:


%\noindent $\sum \frac {n^{n+1} n! (n+2)!}{(3n-1)!}, 
%~\sum \frac {3n\cdot n^{n-3} n!(n-2)!}
%{(3n+1)!}, ~ \sum \frac{n^n n!(2n -2)!}{(4n+1)!}, ~ \sum \frac {n^n}{(n!)^2}$.


%\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
% ESERCIZIO n. 12 Studiare la convergenza delle serie:
%$\sum \frac {(-1)^n}{40^{\frac 1n}}, ~\sum \frac {(-1)^n}{\log n}, ~\sum 
%2^{-\log n}\cos\pi n, ~$.

%\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
% ESERCIZIO n. 13 ${\bf *}$ Si provi che $\sum \sin n$ non converge.

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 ESERCIZIO n. 11 a- Si provi $ \frac {n!}{ (n+k)!}= \frac 1{k-1}\left( 
 \frac {n!}{ (n+k-1 )!} -\frac {(n+1)!}{ (n+k )!}\right)$ per $n\geq 1, k\geq 2$.

\noindent b- Si provi che $\sum_n \frac {n!}{ (n+k)!} = \frac 1{(k-1)(k-1)!}$, 
per $k\geq2$.


\noindent c- $\sum_n { n+k\choose n}^{-1} = 1+\frac 1{k-1}, ~k\geq 2$.

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% \noindent ESERCIZIO n. 15 Per quali $x\in {\bf R}$ convergono rispettivamente le serie:

%\noindent $ \sum (-2)^n e^{-nx}, \sum \frac n{n+1}(x-1)^n, ~ 
%\sum \frac {(n!)^3 x^n}{n (3n)!}, \sum \frac {n}{x^2 +n^x}$.





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 \noindent ESERCIZIO n. 12 Si considerino le successioni  
$a_0 =0, ~a_{n+1}= a_n^2 +\frac 14$, e $b_0=\alpha>0,~ 
b_{n+1}=\frac {b_n}{b_n +1}$. 
Si provi che sono monotone, se ne calcolino 
 i limiti $a$ e $b$ e si studino le serie $\sum (a-a_n)^2$, $\sum (b-b_n)$.


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 \noindent ESERCIZIO n. 13  Si calcolino i seguenti limiti di funzione:

\noindent $\frac {\sin x}x~ (x\to 0),~ \frac {1-\cos x}{x^2} ~ (x\to 0),~ 
\frac {\sin x}{1+\cos x}~ (x\to \pi), \frac {e^x -1}x ~ (x\to 0), ~x\log x^2
~ (x\to 0),~$

\noindent$ \frac {\sqrt {1-x+x^2}-1}{x}~ (x\to 0),~
\frac {\sqrt {1+ x+x^2}-1}{x}~ (x\to 0),~\frac {1-\cos 3x}{x^2} ~ (x\to 0),~
\frac {\log (1+x^2)}{ 1-\cos x}~ (x\to 0),$

\noindent $ (x-1)^{-1}{\rm arsin} [(x-1)(x+2)^{-1}]~ (x\to 1),~
\frac {\cos\pi -\cos (x+\pi)}{x^2+x^3}~ (x\to 0),
~\frac {\log^2(-x+1)}{\sin^2x }~ (x\to 0) $.


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 ESERCIZIO n. 14 Si calcolino i limiti delle seguenti funzioni:

\noindent $\frac {\log x}{ \sqrt{x}} ~ (x\to +\infty),~ \frac {2^x+ \log^2 x}
{ \sqrt{1+ 4^x} + x^3} ~ (x\to +\infty),~ 
e^{\sqrt {x+1}} - e^{\sqrt x} ~ (x\to +\infty),
~ \frac {\sin x}{\log x}  ~ (x\to +\infty)$.


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ESERCIZIO n. 15 ${\bf *}$ Si calcoli usando la definizione
 $\lim_{x\to\infty}\sum_n \frac 1{n^2+x^2}$.

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  \noindent{\bf Definizione} - Una funzione $f$ si dice Lipschitziana se esiste 
una costante $L$ per cui  

\noindent $\vert f(x)
- f(y)\vert \le L\vert x-y\vert$. Ovvero i rapporti incrementali sono limitati.

\noindent -  Dato $a\in]0;1[$, una funzione $f$ si dice $a$-H\" olderiana 
se esiste una costante $C$ per cui  

\noindent $\vert f(x)
- f(y)\vert \le C\vert x-y\vert^a$.

\noindent - Una funzione si dice uniformemente continua se $\lim_{\delta\to 0}
\sup_{\vert x-y\vert\le \delta}\vert f(x)-f(y)\vert =0$.  	

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ESERCIZIO n. 16  ${\bf *}$ a- Una funzione \`e uniformemente continua se e solo se 
per ogni coppia di successioni $x_n$, $y_n$ se $x_n -y_n\to 0$ allora anche
$\vert f(x_n) -f(y_n)\vert\to 0$. 
(Si noti che non si richiede che le successioni convergano)


\noindent b- {\bf Teorema} Una funzione continua su un intervallo chiuso 
e limitato \`e uniformemente cont. 

\noindent c- Una funzione continua che ha limite all'infinito \`e 
uniformemente continua.






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ESERCIZIO n. 17 a - Le funzioni H\"olderiane e Lipschitziane 
sono uniformemente continue.

\noindent b- Il grafico di una funzione Lipschitziana si trova sempre 
compreso tra due rette di pendenza $L$ e $-L$ centrate in un qualsiasi 
punto del grafico stesso.

\noindent c- Si mostri che $x\mapsto \sqrt \vert x\vert $ \`e 
$\frac12$-H\"olderiana ma non Lipschitziana.

\noindent d- Si mostri che $x\mapsto x+\sin x$ \`e Lipschitziana, ma
 $x\mapsto \sin x^2$ non lo \`e. 

\noindent e- Si trovino funzioni Lipschitziane ma non H\" olderiane.
Su quali intervalli una funzione Lipschitziana \`e anche H\"olderiana?


\noindent f-${\bf *}$ Si trovi una funzione uniformemente continua 
ma non H\" olderiana.



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ESERCIZIO n. 18 Si provi che la funzione $x\mapsto \sum_n \frac 1{n^2+x^2}$ 
ha massimo su ${\bf R}$ ma non ha minimo.

\end{document}
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ESERCIZIO n. 24 

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