\documentstyle [12pt]{article}
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\newcommand{\R}{{\bf R}}
\newcommand{\N}{{\bf N}}
\begin {document}

\centerline{\bf  Matematica, Anno Accademico 2004-2005, 
Scienze Geologiche} \\

\centerline{VIII foglio di esercizi: P.Acquistapace,  V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 7 dicembre al  16 dicembre 2004}


\noindent{\pic http://WWW.dm.unipi.it/didactics/home.html  --$\scriptstyle {\!>}$ 
ALTRI CORSI DI LAUREA --$\scriptstyle{ \!>}$ Corso di laurea *****}


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ESERCIZIO n. 1   Un punto si muove su una retta in modo che la distanza 
dal punto iniziale \`e proporzionale al quadrato del tempo percorso. 
In due minuti percorre dodici metri. Si trovi la velocit\`a media:
 a- nei primi cinque minuti, b- tra il quarto minuto e il settimo.
Si calcoli la velocit\`a istantanea al settimo minuto.

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\noindent ESERCIZIO n. 2 a- Calcolare le derivate delle seguenti funzioni

\noindent $\sin (100\cdot x),~  e^{x^{100}},~
\log \frac {x^2+1}{x^2+x+1},~ \tan x^2 + \tan^2 x,~\frac {x^2+x-1}{x^3+1}, ~
^3\!\sqrt\frac 1{1+x^2}, ~ \sin^2\cos 3x^3,$
  
\noindent $\frac {\rm arsin~x}{\rm arcos ~x},~ x^x ,~ (x\log x)^{\sin \sqrt x}, 
~\log_x (2^x-x^2)$

\noindent b- Calcolare $f^\prime (x^2)$ se $f(x)=x^3$, 
e se $g(x)=f(x^2)$ calcolare $g^\prime (x)$.

\noindent c-  Calcolare    nel punto $(1,y)$ 
la derivata rispetto alla seconda variabile
  $\frac {\partial f}{\partial y} (1,y)$, con  
$f(x,y)= x^{x^{x^y}} +\log x({\rm artan} ({\rm artan} ({\rm artan} (\sin (\cos (xy)+
\log (x+y))))))$.

\noindent d-Calcolare le derivate parizali delle seguenti funzioni nei punti 
$(2,0,0), ~(1,1,0),~ (1,2,3)$:

${ {e^{x^4 y^2 z} -xz\sin (xy) -1};~ \frac {xyz}{x^2 +y^2 +z^2};~
 \frac {\sin (xyz)}{x^2 +y^2+z^2};~
(x^2+z^2)\log (x^2+y^2);~ \frac {x\sin zy}{200+zy\sin x}}$;
~ ${\frac {x^2 y^2}{x^2 +y^4+1};~ 
}$

\noindent calcolare quindi le derivate parziali rispetto alla prima variabile delle stesse funzioni.

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\noindent {\bf NOTA} - per una funzione $\gamma :t\mapsto \gamma (t)= (x(t), y(t), z(t)) $ da 
${\bf R}$ in ${\bf R}^3$ (o  ${\bf R}^2$)  
le cui  componenti sono derivabili, il vettore ``velocit\`a '' dato dalle derivate all'istante $t_0$ se non nullo 
 da la direzione tangente alla curva descritta dal cammino $\gamma$ nel punto $\gamma (t_0) $.

\noindent - se una funzione $f: (x,y)\mapsto f(x,y)$ ha derivate parziali 
continue in $P=(x_0 , y_0)$ , non solo il suo grafico in $(P, f(P))$ 
ha piano tangente   $z=(x-x_0)\frac {\partial f}{\partial x} (P) +(y-y_0)\frac {\partial f}{\partial y} (P) +f(P)$

\noindent ma se non nullo il vettore delle derivate parziali valutate in $P$ 
$\left( \frac{\partial f}{\partial x} (P), \frac{\partial f}{\partial y} (P)\right)$ \`e ortogonale nel punto $P$ 
all'insieme di livello $\{ (x,y): ~f(x,y)=f(P)\}$.

\noindent -considerazione del tutto analoga vale per le funzioni con pi\`u di due variabili. 

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 \noindent ESERCIZIO n. 3 a- Si trovi la tangente nel punto $(1,1)$ dell'insieme
 di punti del piano definito da $x^7+y^7 -2=0$

\noindent b- Si trovino le tangenti nel punto $(0,0)$ dell'insieme del piano
definito da $ (x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)$.


\noindent c- Si trovi l'angolo di incidenza in $(1,1)$ tra le due curve $y=x$, 
$y=\frac {\sqrt 3} 2 x^2$.

\noindent d- Si trovi il piano tangente alla sfera di centro 
$(1,1,1)$ e raggio $1$ in $(1,\frac 12, 1+\frac{\sqrt{3}}{2})$.


\noindent c- Si trovi la retta ortogonale alla regione 
$\{ (x,y,z):~ \log (x^2 +y^2+e)= e^z\}$ in $(0,0,1)$.




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\noindent ESERCIZIO n. 4 a- Si provino le relazioni 
${\rm arsin}~ x+{\rm arcos}~ x= \frac {\pi}2$, 
$\vert {\rm artan}x +{\rm artan}\frac 1x\vert= 
\frac {\pi}2$.

\noindent b- Si provi che per $x\geq 0$ si ha 
 ${\rm artan}~x \geq \frac x{1+x}$, $ 2x{\rm artan}~ x \geq \log (1+x^2)$.



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 \noindent ESERCIZIO n. 5  Si studino i grafici delle seguenti funzioni

\noindent $\vert x^3 -1\vert +3,~ \vert \vert x\vert -3\vert +1,~ x\vert x^2 -1\vert,~ 
(x-2\vert x\vert)^2,~ x+\cos x ,~ \log (x+ \sqrt{1+x^2} ), 
~\frac {1+3e^x}{\sqrt{4 +5e^{2x}}},~{\bf (*)}~{\rm arsin} \frac {2x}{1+x^2}$.
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 \noindent ESERCIZIO n. 6 a- Si studi la derivabilit\`a della funzione 
 definita da $x\sin \frac 1x $ se $x\not=0$, e nulla per $x=0$.

\noindent b- Si studi la derivabilit\`a della funzione 
 definita da $x^2\sin \frac 1x $ se $x\not=0$, e nulla per $x=0$.

\noindent c- Si studi la derivabilit\`a della funzione 
 definita da $x^\alpha\sin \frac 1{x^\beta} $ se $x\not=0$, e nulla per $x=0$.

\noindent {\bf *} d- Sia  
$f(x)=\frac x2 +x^2\sin \frac 1x$ se $x\not =0$, $f(0)=0$.
Si provi che esiste $f^\prime (0)$ ed \`e 
{\it strettamente positiva}, ma la funzione non \`e crescente 
in nessun intervallo contenente $0$.
 
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\noindent ESERCIZIO n. 7 a- Tra i triangoli rettangoli di ipotenusa 
 di lunghezza assegnata quali hanno area massima? 

%\noindent b- Si trovi il rettangolo con lati paralleli 
%agli assi cartesiani, interamente
%contenuto  in

%\noindent  $\{ (x, y):~ x^2 \le y \le 1 ~\}$ di area massima.

\noindent b- Tra i prismi regolari a base triangolare di volume assegnato 
$V$ quali rendono minima l'area superficiale?

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\noindent ESERCIZIO n. 8  Si calcolino se esistono i seguenti limiti:

\noindent $\frac{{\rm arsin}~ x -x}{x-{\rm artan ~}x} ~x\to 0,~ 
\frac{\sqrt 2- \sin x - \cos x}{\log\sin 2x} ~x \to \frac {\pi}4,~ 
(\tan x)(\log \sin x) ~x\to 0,~ \frac 1 {x^2} - \frac 1{\tan^2 x} ~ x\to 0,~$

\noindent $\frac{\log (1+x) -\tan x}{x\log(1+x)}~x\to 0,~\frac{ \log (1+2e^x )}{\sqrt{ 1 +x+x^2}} ~x\to +\infty ,~ 
\frac {e^{\sqrt{\log x}}}{\sqrt x} ~ x\to +\infty,$

\noindent $\left(\frac {\pi}2-{\rm artan~}x\right)\tan \left( \frac{\pi}2 - \frac 1x\right) 
~ x\to +\infty$



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\noindent ESERCIZIO n. 9 Sia $\displaystyle{
f(x) =\cases{e^{-\frac 1{x^2}} & ~$x\not=0$\cr
~& \cr
0 &~$x=0$\cr}}$. ~~~ a - Si provi che $f$ \`e continua su ${\bf R}$.


\noindent b - Si provi che le derivate di $f$ in ${\bf R}\setminus\{ 0\}$ sono del
tipo funzione razionale moltiplicato $f$.




\noindent c - Si provi che $f$ \`e derivabile infinite volte in $x=0$.

\noindent d- Si studi se la funzione  $\scriptstyle{
f(x,y) ~=~
\left\{ 
{\begin{array}{ll}
\frac {y^2}{x^3} e^{-\frac {y^2}{x^4}} &  \scriptstyle{x\not= 0}\\
& \\
0 & \scriptstyle{ x= 0}\\
\end{array}}
\right.}$. 

\noindent ha derivate parziali in ogni punto e si studi se il suo grafico ha piano tangente in $(0,0,0)$.

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\noindent ESERCIZIO n. 10 a- Si provi che la derivata del prodotto di $n$ 
funzioni \`e la somma dei prodotti delle derivate di ognuna delle funzioni 
 per le rimanenti funzioni: 

\noindent $D(f_1 \cdot \dots f_n) =
Df_1 \cdot f_2 \dots f_n +~ f_1 \cdot Df_2 \cdot \dots f_n + \dots$

\noindent a - Si provi $\displaystyle{ D^n (f\cdot g)=\sum_{k=0}^n  {n\choose k} D^k f
D^{n-k}g}.$

\noindent b- Si supponga che  la funzione $g$ abbia $n$ derivate nel punto $a$ 
e che la funzione $f$ abbia $n$ derivate in $g(a)$. Si provi che la funzione 
composta $x\mapsto f(g(x))$ ha $n$ derivate nel punto $a$.



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\noindent ESERCIZIO n. 11 a- Sapendo che $f$ \`e una funzione con la derivata prima e seconda 
 continue e sapendo che $\left( 1+\frac {f(x)}x\right)^{\frac 1x}\to e^3$ quando $x\to 0$ si 
calcolino $f(0)$, $f^\prime (0)$, $f^{\prime\prime} (0)$.


\noindent {\bf *} b- Si provi che se $g=f^\prime$ su un intervallo $[a;b]$ allora 
$g$ assume tutti valori compresi tra il suo estremo superiore e il suo estremo inferiore 
sull'intervallo $[a;b]$. In particolare la funzione $g$ non potr\`a avere discontinuit\`a
di tipo ``salto''.
(Si consideri un'opportuna funzione che abbia come valori i coefficienti angolari 
delle corde sul grafico di $f$ ed un estremo nei punti $(a, f(a))$ nella prima met\`a 
dell'intervallo $[a,b]$, ed un estremo in  $(b, f(b))$ nella seconda parte).



% {\bf *} Si determini una relazione di ricorrenza per i termini 
% della successione numerica data dalle derivate successive calcolate in $0$ 
%della funzione $x\mapsto {\rm arsin} ~x$.
%%$D((1- x^2) Du )=D(\sqrt{ 1-x^2}) =-x Du, Newton = -D^n(xDu)=
%%D^{n+1}((1-x^2) Du) =Newton:~ Du=1, D^2u=0, D^{n+2}u = n^2 D^nu,~ 
%%D^{2m-1}u=\frac{(2m-1)!}{2^{m-1} (m-1)!}$





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 \noindent ESERCIZIO n. 12 a- Si disegni la curva $2y^2-x(x-1)^2=0$.


\noindent b- Si disegni a curva  $ (x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)$.

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 \noindent ESERCIZIO n. 13  Sia $f(x)= x^7 +x+1$. Si provi che la funzione \`e bigettiva da 
${\bf R}$ in se. Detta $g$ la sua inversa si calcoli $\lim_{y\to +\infty} 
g\left(\frac {8y}{y+4}\right)$.


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\noindent ESERCIZIO n. 14 a- 
Sia $f(x)=x +\log x$. Si provi che \`e bigettiva da $[0; +\infty[$ in se. 

\noindent b- Detta $g$ l'inversa di $f$ si provi che $\frac {\log g(a)}{g(a)}\to 0$
 quando $a\to +\infty$.

\noindent {\bf *} c- si determini esplicitamente una funzione $h$ per cui
 $g(a)- h(a)\to 0 $ quando $a\to +\infty$. (Si provi $\log (1+ \frac{\log g(a)}{g(a)})
= \log a +g(a) -a$).


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 \noindent ESERCIZIO n. 15 Si scriva $\sin^2 x$ come differenza di due funzioni convesse.

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\noindent ESERCIZIO n. 16 Si consideri l'equazione $f(x)= 2x{\rm artan}~ x=1$. 
Si provi che ha  una sola soluzione positiva $\alpha$. Si provi che $\alpha\le 1$. 
Si provi che $\frac 2{\pi}\le \alpha$.  Usando la convessit\`a di $f$  si provi inoltre 
che $\alpha\le \frac 4{2+\pi}$.


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 \noindent ESERCIZIO n. 17 Si mostri che le uniche funzioni $f$ per cui $f^\prime (x)=
f(x)$ sono le funzioni $x\mapsto \alpha e^x$.


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\noindent ESERCIZIO n. 18 -Si mostri per curva  nello spazio data dal cammino
 $t\mapsto (\cos t , \sin t , t), ~ 0\le t \le 2\pi$ 
 la retta tangente non \`e mai parallela al segmento tra i due estremi

\noindent - $^{\bf *}$ Si mostri che in ogni curva piana che ammette tangente 
 continua ogni corda ha una direzione tangente parallela.




 

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\noindent {\bf NOTA:} Una funzione di due variabili con due componenti reali, cio\`e 
una $F: {\bf R}^2 \to {\bf R}^2$ del tipo $F(x,y) = (f(x,y), g(x,y))$ pu\`o 
essere vista come una funzione da ${\bf C}$ in se: $z=x+iy,~ F(z)=f(z) +i g(z)$.

\noindent Tra le funzioni con derivate parziali vi sono quelle che ammettono 
dertivata in senso complesso $\lim_{h\to 0, ~h\in {\bf C}} \frac{ F(z+h)- F(z)}{h}$. 

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\noindent ESERCIZIO n. 19 $^{\bf *}$ Tra le funzioni da ${\bf R}^2$ 
in se che ammettono derivate parziali continue le uniche che conservano gli angoli tra due curve sono quelle derivabili in senso complesso.
 


\end{document}




\noindent ESERCIZIO n. 19 Si dica se le seguenti curve hanno retta tangente 
in ogni loro punto ************

\noindent - Si calcoli la lunghezza dellle seguenti curve

***********CURVE
***********CURVE

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\noindent ESERCIZIO n. 20

***********LIMITI + VAR



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 21

***********LIMITI + VAR


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 22

***********DERIVATE PARZIALI


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 23

***********DERIVATE PARZIALI


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 24

***********DERIVATE PARZIALI


\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 25

***********SIGNIFICATO GEOMETRICO

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 26

***********LUOGHI DI ZERI



\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 27

***********DERIVATA COMPLESSA

\noindent--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\noindent ESERCIZIO n. 28

***********DERIVATA COMPLESSA


\end{document}
