Matematica, Anno Accademico 2004-2005, Scienze Geologiche V.M. Tortorelli

IX foglio di esercizi: V.M. Tortorelli dal 22 dicembre 2004 al 23 dicembre 2004

————————————————————————————————————————– DEFINIZIONE: Una funzione x ↦ F (x) definita su un intervallo I si dice primitiva sull’intervallo di una funzione x ↦ f(x) se: F è derivabile su I e F′ = f su I. La famiglia delle primitivedi f su un intervallo si indica con ∫^{x} f TEOREMA [FONDAMENTALE DEL CALCOLO: area calcolata con le primitive] Se f è continua su [a; b] allora:

i- La funzione integrale ∫_{a}^{x} f(y)dy è una primitiva

ii- Poichè le primitive su un intervallo diffreiscono per una costante per ogni altra F primitiva di f su [a; b] si ha: ∫_{a}^{b} f(x)dx = F (b) − F (a).

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 a- [PRIMITIVE DI BASE] Si determinino le primitive nulle in x = 0 delle seguenti funzioni: e^{x}, x^{2}, \sqrt{x}, x^{a} (a ≠ −1), \frac{1}{x+1}, sin x, cos x, \frac{1}{cos^{2} x}, 1+tan^{2} x, , \frac{1}{1+x^{2}} , \frac{1}{1−x^{2}} , \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} [R. log(x + \sqrt{1 + x^{2}}) : l′inversa dell′ arcosenoiperbolico : arsinhx = \frac{e^{x}−e^{−x}}{2} ].

b- [SOSTITUZIONE] Si risponda allo stesso quesito nei casi seguenti tenendo presente la regola della catena F (x) = G(t(x)) : \frac{dF}{dx} (x) = \frac{dG}{dt} (t(x)) \frac{dt}{dx} (x), t = t(x):

2xe^{x^{2}}, 10x(1+x^{2})^{4}, \sqrt{5x + 9}, \frac{1}{\sqrt{5x+9}}, \frac{1}{5x+e}, \frac{4x}{144+x^{2}} , \frac{log(1+x)}{1+x}, tan x, \frac{g′(x)}{g(x)}, e^{2x} cos e^{2x}, cos x sin^{501} x, \frac{1}{144+x^{2}} , \frac{e^{x}}{1+2e^{x}+e^{2x}} , \frac{cos x}{\sqrt{9}−sin^{2} x}, sin^{2} x [1 − 2 sin^{2} x = cos^{2} x − sin^{2} x = cos 2x], \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1+x}}.

c- [RAZIONALI SEMPLICI] \frac{x}{(x^{2}+1)^{n}} , \frac{1}{(x+1)^{n}} , \frac{1}{x^{2}−1}, \frac{x}{1+x}, \frac{x+4}{(x+1)^{2}−6(x+1)}, \frac{1}{x^{2}+1}, \frac{1}{x^{4}+1}, \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}} .

d- [PARTI] Si risponda allo stesso quesito nei casi seguenti tenendo presente la regola della derivata di un prodotto F′ = G′H = (GH)′ − GH′ x sin x, xe^{x}, x^{2}e^{x}, x^{3} cos x, x sin^{2} x, arsinx, x^{a} log x, log^{2} x, e^{x}(1 + x) log x, sin ax cos bx

e- [SOSTITUZIONE INVERSA] G(t) = F (x(t)) : \frac{dF}{dx} (x(t)) = \frac{dG}{dt} (t) (\frac{dx}{dt} (t))^{−1}, x = x(t), per avere la risposta bisogna quindi trovare l’inversa di t ↦ x(t): \frac{\sqrt{2+x}}{1+x} [x = t^{2} − 2], \frac{1}{1+tan^{2} x} [x = artan t], \sqrt{1 − x^{2}} [x = cos t], cos(log(x + 1)) [x + 1 = e^{t}] ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Si provino le formule: ∫ log^{n} x = x log^{n} x − n ∫ log^{n−1} +c, ∫ x^{n}e^{x} = x^{n}e^{x} − n ∫ x^{n−1}e^{x}, ∫ x sin x = −x^{n} cos x + n ∫ x^{n−1} cos x, ∫ x^{a} log^{n} x = \frac{x^{a+1} log^{n} x}{a+1} − \frac{n}{a+1} ∫ x^{a} log^{n−1} x ————————————————————————————————————————– RICETTE Se R(x, y), R(x, y, z) sono rapporto di due polinomi le primitive di una funzione del tipo R(cos x, sin x) si trovano con la sostituzione t = tan \frac{x}{2}, di una del tipo R(x, \sqrt{1 − x^{2}}) con t = \sqrt{\frac{1−x}{1+x}} o x = sin t, di una R(x, \sqrt{1 + x^{2}}) con t = x + \sqrt{1 + x^{2}}, di R(x, \sqrt{x^{2} − 1}) con

t = \sqrt{\frac{x−1}{1+x}}, di R (x, (\frac{ax+b}{cx+d})^{\frac{n}{m}} ) con t^{m} = \frac{ax+b}{cx+d}, di R(x, \sqrt{ax + b}, \sqrt{cx + d}) con t = \sqrt{ax + b}.

Inoltre di molte funzioni non si possono calcolare le primitive. Esempi: \frac{1}{\sqrt{a_{0}+...a_{n}x^{n}}}, \frac{e^{x}}{x}, e^{±x^{2}}, \frac{sin x}{x}, \frac{1}{\sqrt{1−k^{2} sin^{2} x}}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 Si calcolino i seguenti integrali:

∫_{1}^{e^{3}} \frac{dx}{x\sqrt{1 + log x}}, ∫ \frac{2}{π} ; \frac{1}{π} \frac{sin \frac{1}{x}}{x^{2}} dx, ∫_{0}^{√\overline{7}} \frac{x^{3}dx}{\sqrt[3]{1 + x^{2}}} , ∫_{0}^{1} arsin^{4}xdx

.