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\newcommand{\N}{{\bf N}}
\begin {document}

\centerline{\bf  Matematica, Anno Accademico 2004-2005, 
Scienze Geologiche} \\

\centerline{ V.M. Tortorelli}

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\centerline{IX foglio di esercizi: V.M. Tortorelli} 

\centerline{dal 22 dicembre 2004 al 23 dicembre 2004}
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%\noindent Programma e materiale relativo al corso 
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\noindent DEFINIZIONE: Una funzione $x\mapsto F(x)$ definita 
su un intervallo $I$ si dice {\it primitiva sull'intervallo}

\noindent  di 
una funzione $x\mapsto f(x)$ se: $F$ \`e derivabile su $I$ e $F^\prime =f$
 su $I$.  La {\it famiglia delle primitivedi $f$} su un intervallo  
si indica con $\int^x f$ 

\noindent TEOREMA [FONDAMENTALE DEL CALCOLO: area calcolata con le primitive]

\noindent Se $f$ \`e continua su $[a;b]$ allora:

i- La funzione integrale $\int_a^x f(y)dy$ \`e una primitiva

ii- Poich\`e le primitive su un intervallo diffreiscono per una costante per ogni altra 
$F$

 primitiva di $f$ su $[a;b]$ si ha: ~~$\int^b_a f(x)dx = F(b)-F(a)$.






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ESERCIZIO n. 1 a- [PRIMITIVE DI BASE]
 Si determinino le primitive nulle in $x=0$ delle seguenti funzioni:
 $e^x,~ x^2, ~\sqrt{x},~x^a ~(a\not= -1), 
\frac 1{x+1} ,~ \sin x,~ \cos x, ~\frac 1{\cos^2 x},~ 1+\tan^2 x,~
,~ \frac 1{ 1+x^2},~ \frac 1{1-x^2},~\frac 1{\sqrt{ 1+x^2}}$
 
\noindent$[{\rm  R.}~ \log (x+\sqrt{1+x^2}) ~:~~{\rm l'inversa ~dell'} 
~arcosenoiperbolico:~ 
{\rm arsinh}x =\frac{ e^x- e^{-x}}2]$.
\medskip



\noindent b- [SOSTITUZIONE] Si risponda allo stesso quesito nei casi seguenti 
 tenendo presente la {\it regola della catena}~~  
$F(x)=G(t(x))~:~~\frac {dF}{dx}(x)=\frac {dG}{dt}{\scriptstyle{(t(x))}}
\frac {dt}{dx}{\scriptstyle{(x)}}$, $ t=t(x)$: 
\smallskip

\noindent $ {2x}{e^{x^2}},~ 10 x(1+x^2)^4,~ \sqrt{ 5x+9},~
\frac 1{\sqrt{5x +9}},~\frac 1{ 5x +e},~
\frac {4x}{144 +x^2},~\frac{\log (1+x)}{1+x},~\tan x,~	
\frac {g^\prime(x)}{g(x)},~
 e^{2x}\cos e^{2x},~ \cos x\sin^{501} x,$~

\noindent $\frac {1}{144 +x^2},~ 
\frac {e^x}{1+ 2e^x +e^{2x}}, ~\frac {\cos x}{\sqrt 9- \sin^2 x},~ \sin^2 x 
~[1-2\sin^2 x=  \cos^2 x -\sin^2 x = \cos 2x],~ 
\frac 1{\sqrt{x}\sqrt{1+x}}$.

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\noindent c- [RAZIONALI SEMPLICI]
 $\frac x{(x^2+1)^n},~ \frac 1{(x+1)^n}, ~\frac 1{x^2 -1},~ \frac x{1+x},~ 
\frac {x+4}{(x+1)^2 -6(x+1)},~ 
\frac 1{x^2+1},~ \frac 1{x^4+1},~ \frac 1{( x^2 +1)^2}$.

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\noindent d- [PARTI] Si risponda allo stesso quesito nei casi seguenti 
 tenendo presente la regola della {\it derivata di un prodotto}
~~~$F^\prime =G^\prime H= (GH)^\prime - GH^\prime$ 
 \smallskip

\noindent $ x\sin x,~ xe^x, ~ x^2e^x,~ x^3\cos x,~ x\sin ^2 x, ~{\rm arsin} x,
~ x^a\log x,~ \log^2 x ,~ e^x (1+x)\log x, ~\sin ax\cos bx$
\medskip


\noindent e- [SOSTITUZIONE INVERSA] 
$G(t)=F(x(t))~:~~\frac {dF}{dx}{\scriptstyle{(x(t))}}=\frac {dG}{dt}{\scriptstyle{(t)}}
\left(\frac {dx}{dt}{\scriptstyle{(t)}}\right)^{-1}$,~ $x=x(t)$,
 per avere la risposta bisogna quindi trovare l'inversa di $t\mapsto x(t)$:
\smallskip

\noindent $ \frac {\sqrt {2+x}}{1+x} ~[x =t^2 -2],~\frac 1{1+\tan^2 x}~ [x={\rm artan}~t],~ 
\sqrt{1 -x^2} ~[ x=\cos t], ~\cos (\log (x+1) ) ~[x+1=e^t]$


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\noindent ESERCIZIO n. 2 
 Si provino le formule: $\int \log^n x = x\log^n x -n\int\log^{n-1} +c, ~
\int x^n e^x = x^n e^x- n\int x^{n-1} e^x, ~\int x\sin x = -x^n \cos x +n\int x^{n-1} \cos x ,~ \int x^a \log^n x =
\frac {x^{a+1}\log^n x}{a+1} -\frac n{a+1}\int x^a \log^{n-1} x$

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 \noindent RICETTE Se $R(x,y),~ R(x,y,z)$ sono rapporto di due polinomi le 
primitive di una 
funzione del tipo  
$R(\cos x, \sin x)$ si trovano con la sostituzione $t=\tan \frac x2$, 
di una del tipo $R(x, \sqrt{ 1-x^2})$ con $t=\sqrt{\frac {1-x}{1+x}}$ o $x=\sin t$, di una 
 $R(x, \sqrt{ 1+x^2})$ con $t= x+\sqrt{ 1+x^2}$, di $R(x, \sqrt{ x^2- 1})$
 con $t=\sqrt{\frac {x-1}{1+x}}$,
 di  $R\left(x, \left({\frac {ax +b}{cx +d}}\right)^{\frac nm} \right)$ con 
 $t^m =\frac{ax +b}{cx +d}$,
  di $R(x, \sqrt {ax +b}, \sqrt{cx +d})$ con $t=\sqrt {ax +b}$.

\noindent Inoltre di molte funzioni non si possono calcolare le primitive. 
 Esempi:
 $\frac 1{\sqrt{ a_0 + \dots a_n x^n}}$,~ 
$\frac {e^x}x$, ~ $e^{\pm x^2}$, $\frac {\sin x}x$, 
$\frac 1{\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}$.

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 \noindent ESERCIZIO n. 3 Si calcolino i seguenti integrali:

$$\int_1^{e^3} \frac {dx}{x\sqrt{1+\log x}},
 ~\int_{\frac 1{\pi}}^{\frac 2{\pi}} 
\frac {\sin \frac 1x}{x^2} dx,~ 
\int_0^{\sqrt{7}} \frac {x^3 dx}{~^{\! 3}\sqrt{1+x^2}}, 
 ~\int_0^1 {\rm arsin}^4 x dx $$.

\end{document}


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\noindent ESERCIZIO n. 4 INTEGRALI IMPROPRI 1





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 \noindent ESERCIZIO n. 5 INTEGRALI IMPROPRI 2

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 \noindent ESERCIZIO n. 6 INTEGRALI E SERIE
 
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\noindent ESERCIZIO n. 7 

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\noindent ESERCIZIO n. 8 

\end{document}

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\noindent ESERCIZIO n. 9 

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\noindent ESERCIZIO n. 10 



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\noindent ESERCIZIO n. 11 





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 \noindent ESERCIZIO n. 12

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 \noindent ESERCIZIO n. 13 

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\noindent ESERCIZIO n. 14


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 \noindent ESERCIZIO n. 15

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\noindent ESERCIZIO n. 16 

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 \noindent ESERCIZIO n. 17 


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\noindent  ESERCIZIO n. 18 


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\noindent ESERCIZIO n. 19 

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\noindent ESERCIZIO n. 21 






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\noindent ESERCIZIO n. 22 



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\noindent ESERCIZIO n. 23 

\end{document}
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ESERCIZIO n. 24 

\end{document}






