Corso di Matematica per Scienze Geologiche SOLUZIONI: prima prova in itinere - 25 novembre 2004

Cognome e nome: Numero di matricola:

Si risponda alle seguenti domande senza fornire giustificazioni.

1. Si trovino le soluzioni della diseguaglianza |2x^{5} − 33| > 31. Risposta: x < 1 oppure x > 2 Infatti |2x^{5} − 33| > 31 se solo se

\{ \begin{matrix}2x^{5} − 33 ≥ 0 \\ e \\ 2x^{5} − 33 > 31 \end{matrix} oppure \{ \begin{matrix}2x^{5} − 33 < 0 \\ e \\ −2x^{5} + 33 > 31 \end{matrix} se e solo se

\{ \begin{matrix}x^{5} ≥ \frac{33}{2} \\ e \\ x^{5} > 32 \end{matrix} oppure  \{ \begin{matrix}x^{5} < \frac{33}{2} \\ e \\ 1 > x^{5} \end{matrix} se e solo se

\{ \begin{matrix}x^{5} ≥ \frac{33}{2} \\ e \\ x > 2 \end{matrix} oppure  \{ \begin{matrix}x^{5} < \frac{33}{2} \\ e \\ 1 > x \end{matrix} . Poichè 1 < ^{5}\sqrt{\frac{33}{2}} < 2 se e solo se
x > 2  oppure  x < 1:

ovvero ] − ∞; 1[∪]2; +∞[.

2. L’insieme \{x ∈ ℝ : \frac{x^{3}−1}{x^{3}−2} > 1\} è limitato? Risposta: No. Se il denominatore è positivo, cioè x^{3} − 2 > 0, la condizione equivale a x^{3} − 1 > x^{3} − 2. Quindi l’insieme in questione contiene {x ∈ ℝ : x^{3} − 1 > x^{3} − 2 e x^{3} > 2} = ] ^{3}\sqrt{2}; +∞[ che è illimitato: quindi è anch’esso illimitato.

3. Calcolare l’estremo superiore e l’estremo inferiore di \frac{x^{2}}{1+x^{2}} quando x ∈ ℝ, e stabilire se sono rispettivamente valori di massimo o di minimo. Risposta: inf=min=0, sup=1 non massimo. Per qualsiasi x si ha che 0 ≤ \frac{x^{2}}{1+x^{2}} = 1 − \frac{1}{1+x^{2}} < 1. Poichè per x = 0 l’espressione vale 0 si ha che 0 è il suo valore di minimo e quindi estremo inferiore. D’altra parte essa non è mai eguale ad 1 poichè \frac{1}{1+x^{2}} > 0 è sempre diverso

da 0. D’altronde se si considera una soglia di errore ε > 0 per |x| ≥ \sqrt{\frac{1}{ε} − 1}

si ha 1 − ε < \frac{x^{2}}{1+x^{2}} < 1. Quindi 1 è estremo superiore ma non è massimo.

4. Determinare le soluzioni dell’equazione cos x sin x + (cos x)^{2} = 1. Risposta: x = kπ, k = 0, ±1, ±2 … oppure x = \frac{π}{4} +kπ, k = 0, ±1, ±2 … Gli x per cui il coseno si annula non sono soluzioni poichè il primo mebro si annulla e il secondo è 1. Scrivendo (cos x)^{2} + (sin x)^{2} al posto di 1 al secondo membro e dividendo per (cos x)^{2} si ottiene l’equazione equivalente: tan x + 1 = 1 + (tan x)^{2}, cioè (tan x)^{2} − tan x = 1 ovvero tan x(tan x − 1) = 0 cioè o tan x = 0 o anche tan x = 1. Quindi x = kπ, k = 0, ± 1, ± 2 … o x = \frac{π}{4} + kπ, k = 0, ± 1, ± 2 . . ..

5. Si tracci schematicamente il grafico della funzione x ↦ 3 − sin(x − 2). Risposta: Si ottiene dal grafico del seno spostandolo “a destra di 2” , quindi “ribaltatando ” il risultato rispetto all’asse orrizzontale y = 0, ed infine spostandosi “in su di 3 ” .

6. Consideriamo la retta r di equazione y = 2x−1 e l’iperbole h di equazione x^{2} − 4y^{2} = 1; si scrivano le equazioni delle trasformate di r e di h rispetto alla simmetria che scambia fra loro gli assi x e y. Risposta: y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}, −4x^{2} + y^{2} = 1. Si ha r = {(x, y) : y = 2x−1}, h = {(x, y) : x^{2} −4y^{2} = 1} e la trasformazione T (x, y) = (y, x). Quindi T (r) = \{(y, x) : y = 2x − 1\} cioè \{(y, x) : \frac{y}{2} + \frac{1}{2} = x\} e chiamando come al solito la prima coordinata x e la seconda y si ottiene la condizione \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = y.

7. Determinare le rette del piano che distano 3 dall’origine e che passano dal punto (2, 3). Risposta: y = 3 e \frac{12}{13}x + \frac{5}{13}y = 3. La retta generica può essere scritta come (x, y)(a, b) = ax + by = c con a^{2} + b^{2} = 1 e c ≥ 0 è la distanza dall’origine.

Quindi si devono trovare le soluzioni di \{ \begin{matrix}a^{2} + b^{2} = 1 \\ a2 + b3 = 3 \end{matrix}

Dalla seconda si ha a = \frac{3}{2}(1 − b) e quindi sostituendo nella prima \frac{9}{4}(1 − b)^{2} + b^{2} = 1 cioè \frac{9}{4} + \frac{9}{4}b^{2} − \frac{9}{2}b + b^{2} = 1 e quindi \frac{13}{4}b^{2} − \frac{9}{2}b + \frac{5}{4} = 0 ovvero 13b^{2} − 18b + 5 = 0 che ha come soluzioni b = 1 e b = \frac{5}{13}. A queste corrispondono rispettivamente a = 0 e a = \frac{12}{13}.

8. Scrivere l’equazione cartesiana del piano contenente i punti (1, 2, 3), (1, 5, 1) e (1, 2, 2). Risposta: x − 1 = 0. Prima soluzione I tre punti hanno prima coordinata eguale ad 1: quindi giacciono sul piano determinato dall’equazione x = 1. D’altra parte non sono allineati ... e quindi per essi passa un solo piano. Seconda soluzione Il piano sarà determinato da un’equazione del tipo (a, b, c)· (x, y, z) = ax + by + cz = d. Per prima cosa si determina a che direzione (a, b, c) è ortogonale il piano in questione, per far questo basta considerare il piano paralleo passante per l’origine ottenuto traslando il nostro di −(1, 2, 3): ovvero il piano passante per (0, 0, 0), (0, 3, −2) e (0, 0, −1). La direzione ortogonale a questo è data da (0, 3, −2) ∧ (0, 0, −1) = (det((3, −2), (0, −1)), −det((0, −2), (0, −1)), det((0, 3), (0, 0))) = (−3, 0, 0) Quindi imponendo che (1, 2, 3) appartenga al piano si ha −3 = d: l’equazione è pertanto −3x = −3 equivalente a x − 1 = 0.

9. Per quali valori del parametro α è risolubile il sistema \{ \begin{matrix}x + y + 2z = 1 \\ 2x + y + z = α \\ 7x + 2y − z = 1 \end{matrix}

Risposta: α = \frac{4}{5}. Il sistema è equivalente a

x ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 7 \end{matrix} ) + y ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) + z ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ α \\ 1 \end{matrix} )

Poichè:

det ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 7 \end{matrix} 1 1 2 \begin{matrix}2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) = 1det((1, 2), (1, −1))−2det((1, 2), (2, −1))+7det((1, 1), (2, 1)) =

−3 + 10 − 7 = 0 questo vuol dire che le tre colonne stanno nello stesso piano per l’origine. Inoltre le prima due non sono allineate con l’origine. Quindi il sitema è risolubile se e solo se la colonna termine noto sta nello stesso piano per l’origine e le prime due colonne: il che è equivalente a imporre

det ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 7 \end{matrix} 1 1 2 \begin{matrix}1 \\ α \\ 1 \end{matrix} ) = 0

tale determinante è 1det((1, 2), (α, 1)), −2det((1, 2), (1, 1)) + 7det((1, 1), (1, α)) = 1 − 2α − 2(1 −

2) + 7(α − 1) = 5α − 4.