\documentclass[12pt]{article}
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\begin {document}
\rule{10cm}{0mm}\vspace{-4cm}\\
\centerline{\bf Corso di Matematica per Scienze Geologiche} 
\centerline{\bf SOLUZIONI: prima prova in itinere - 25 novembre 2004} 
\rule{13.7cm}{0.2mm}\\
{\bf Cognome e nome:}\\
{\bf Numero di matricola:}\\
\rule{13.7cm}{0.2mm}\\
{\bf Si risponda alle seguenti domande senza fornire giustificazioni.}\\
\rule{13.7cm}{0.2mm}\\
{\bf 1.} Si trovino le soluzioni della diseguaglianza $|2x^5 -33|>31$.\\
{\bf Risposta:} $x<1$ oppure $x>2$


\noindent Infatti  $|2x^5 -33|>31$ se solo se 


\noindent $\left\{ \begin{array}{l} 2x^5 -33\geq 0  \\ 
{\rm e}\\ 
2x^5 -33>31 \end{array} \right.$ oppure $\left\{ \begin{array}{l} 2x^5 -33<0  \\ 
{\rm e}\\ 
-2x^5 +33>31 \end{array} \right.$ se e solo se 

\noindent $\left\{ \begin{array}{l} x^5 \geq\frac{33}2  \\ 
{\rm e}\\ 
x^5 > 32 \end{array} \right.$~~~ oppure ~~~~~
$\left\{ \begin{array}{l} x^5 <\frac{33}2  \\ 
{\rm e}\\ 
1 >  x^5 \end{array} \right.$  se e solo se 



\noindent $\left\{ \begin{array}{l} x^5 \geq\frac{33}2  \\ 
{\rm e}\\ 
x > 2 \end{array} \right.$~~~ oppure ~~~~~
$\left\{ \begin{array}{l} x^5 <\frac{33}2  \\ 
{\rm e}\\ 
1 >  x \end{array} \right.$. Poich\`e $1< ~^5\!\!\sqrt{\frac{33}2}<2$ se e solo se 
\medskip

~~ $x > 2$ ~~~~~~oppure ~~~~~~~~$x<1$: 

ovvero $]-\infty ;1[\cup ]2; +\infty[$.


\\
\rule{13.7cm}{0.2mm}\\
{\bf 2.} L'insieme $\left\{ x\in {\mathbb R}: \frac{x^3-1}{x^3-2}
>1\right\}$ \`e limitato?\\
{\bf Risposta:} No. \\ Se il denominatore \`e positivo, cio\`e $x^3-2>0$, 
 la condizione equivale a $x^3-1 > x^3 -2$. 

\noindent Quindi l'insieme in questione contiene
$\left\{ x\in {\mathbb R}: x^3-1> {x^3-2}~ {\rm e }~~ x^3>2
\right\}= ] ~^3\!\!\sqrt{2} ; +\infty[$ che \`e illimitato: quindi \`e anch'esso illimitato.

\rule{13.7cm}{0.2mm}\\
{\bf 3.} Calcolare l'estremo superiore e l'estremo inferiore di
$\frac{x^2}{1+x^2}$ quando $x\in {\mathbb R}$, e stabilire se sono
rispettivamente valori di massimo o di minimo.\\
{\bf Risposta:} inf=min=$0$, sup=$1$ non massimo.


\noindent Per qualsiasi $x$ si ha che 
$0\le \frac{x^2}{1+x^2}= 1-\frac{1}{1+x^2} <1$.

\noindent Poich\`e per $x=0$ l'espressione 
vale $0$ si ha che $0$ \`e il suo valore di minimo  
e quindi estremo inferiore.

\noindent D'altra parte essa non \`e mai eguale ad $1$ poich\`e $\frac{1}{1+x^2}>0$ 
 \`e sempre diverso da $0$. D'altronde se si considera una soglia di errore $\varepsilon>0$ 
 per  $\vert x \vert\geq \sqrt{ \frac{1}{\varepsilon} -1}$  
 si ha $1-\varepsilon < \frac{x^2}{1+x^2} <1$. Quindi $1$ \`e estremo superiore ma non \`e massimo.


\rule{13.7cm}{0.2mm}\\
{\bf 4.} Determinare le soluzioni dell'equazione $\cos x\sin x +(\cos
x)^2 =1$.\\ 
{\bf Risposta:} $x= k\pi ,~ k=0,~\pm 1,~ \pm 2 \dots$ oppure 
$x= \frac{\pi}4 +k\pi,~ k=0,~\pm 1,~ \pm 2 \dots$ 

\noindent Gli $x$ per cui il coseno si annula non sono soluzioni poich\`e il primo mebro si annulla e il secondo 
\`e $1$. Scrivendo $(\cos x)^2 +(\sin x)^2$ al posto di $1$ al secondo membro e dividendo per $(\cos x)^2$ si ottiene l'equazione 
equivalente:

$\tan x +1 = 1 +(\tan x)^2$, cio\`e $(\tan x)^2-\tan x=1$ ovvero 
$\tan x (\tan x -1)=0$ cio\`e o $\tan x =0$ o anche $\tan x =1$.

\noindent Quindi  $x= k\pi ,~ k=0,~\pm 1,~ \pm 2 \dots$ o  
$x= \frac{\pi}4 +k\pi ,~ k=0,~\pm 1,~ \pm 2 \dots$.

\rule{13.7cm}{0.2mm}\\
{\bf 5.} Si tracci schematicamente il grafico della funzione $x\mapsto
3-\sin (x-2)$.\\
{\bf Risposta:} Si ottiene dal grafico del seno 
spostandolo ``a destra di $2$'' , quindi 
``ribaltatando ''  il risultato rispetto all'asse orrizzontale 
$y=0$, ed infine  spostandosi ``in su di $3$ '' .

%\vspace{15mm}\\
\rule{13.7cm}{0.2mm}\\
{\bf 6.} Consideriamo la retta $r$ di equazione $y=2x-1$ e l'iperbole
$h$ di equazione $x^2-4y^2=1$; si scrivano le equazioni delle
trasformate di $r$ e di $h$ rispetto alla simmetria che scambia fra
loro gli assi $x$ e $y$. \\
{\bf Risposta:} $y=\frac x2 +\frac 12$,  $-4x^2 + y^2=1$.

\noindent Si ha $r=\{ (x,y): y=2x-1\}$, $ h=\{ (x,y): x^2-4y^2=1\}$ e la 
trasformazione $T(x,y)=(y,x)$.

\noindent Quindi $T(r)= \{ (y,x) : y=2x-1\}$ cio\`e 
$\{ (y,x) :\frac  y2 +\frac 12=x\}$ e chiamando come al solito 
la prima coordinata $x$ e la seconda $y$ 
 si ottiene la condizione $\frac  x2 +\frac 12=y $.



\rule{13.7cm}{0.2mm}\\
{\bf 7.} Determinare le rette del piano che distano $3$ dall'origine e
che passano dal punto $(2,3)$.\\
{\bf Risposta:} $y=3$ e $\frac {12}{13}x +\frac 5{13}y =3$.

\noindent La retta generica pu\`o essere scritta come $(x,y)\codt (a,b) =ax +by=c$
 con $a^2+b^2 =1$ e $c\geq 0$ \`e la distanza dall'origine.

\noindent Quindi si devono trovare le soluzioni di 
$\left\{ \begin{array}{l} a^2 +b^2= 1 \\ 
a2+ b3=3 \end{array} \right.$

\noindent Dalla seconda si ha $a= \frac 32 (1-b)$ e quindi sostituendo nella 
prima $\frac 94 (1-b)^2 +b^2 =1$ cio\`e 
$\frac 94 + \frac 94 b^2 -\frac 92 b +b^2 =1$
 e quindi $\frac {13}4 b^2 - \frac 92 b +\frac 54 =0$ ovvero 
$ 13 b^2 - 18b +5=0$ che ha come soluzioni $b=1 $ e $b=\frac {5}{13}$.
A queste corrispondono rispettivamente $a=0$ e $a= \frac {12}{13}$.

\rule{13.7cm}{0.2mm}\\
{\bf 8.} Scrivere l'equazione cartesiana del piano contenente i punti 
$(1,2,3)$, $(1,5,1)$ e $(1,2,2)$.\\
{\bf Risposta:} $x-1=0$.

\noindent {\it Prima soluzione} I tre punti hanno prima coordinata eguale ad $1$:
quindi giacciono sul piano determinato dall'equazione $x=1$. 
D'altra parte non sono allineati ... e quindi per essi passa un solo piano.

\noindent {\it Seconda soluzione} Il piano sar\`a determinato da un'equazione del tipo 
$(a,b,c) \cdot (x,y,z)= ax+by+cz =d$. 


\noindent Per prima cosa si determina a che direzione $(a,b,c)$  
\`e ortogonale il piano in questione, per far questo basta considerare il 
piano paralleo
 passante per l'origine ottenuto traslando il nostro di $-(1,2,3)$: ovvero 
il piano passante per $(0,0,0)$, $(0,3, -2)$ e $(0,0, -1)$. La direzione 
ortogonale a questo \`e data da 

$ (0,3,-2)\wedge (0,0, -1)=$
 
$( det((3,-2), (0, -1)), - det((0,-2), (0, -1)), det((0,3), (0,0))) = 
(-3,0 ,0)$

Quindi imponendo che $( 1,2,3)$ appartenga al piano si ha $-3 =d$: l'equazione
\`e pertanto $-3x =-3$ equivalente a $x-1=0$.

\rule{13.7cm}{0.2mm}\\
{\bf 9.} Per quali valori del parametro $\alpha$ \`e
risolubile il sistema 
$\left\{ \begin{array}{l} x+y+2z= 1 \\ 
2 x+ y+ z=\alpha \\ 
7x+2y -z =1 \end{array} \right.$
{\bf Risposta:} $\alpha =\frac 45$.

\noindent Il sistema \`e equivalente a
 

$x\left( \begin{array}{l}  1 \\ 
2 \\ 
7\end{array} \right)+ y\left( \begin{array}{l} 1 \\ 
1 \\
2 \end{array} \right)+z\left( \begin{array}{l}2 \\ 
1 \\ 
 - 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{l}  1 \\ 
\alpha\\ 
1\end{array} \right) $

\nondent Poich\`e:

\noindent  $det \left(\begin{array}{l}  1 \\ 
2 \\ 
7\end{array}  \begin{array}{l} 1 \\ 
1 \\
2 \end{array}  \begin{array}{l}2 \\ 
1 \\ 
 - 1 \end{array} \right) = 
1 det( (1,2), (1,-1)) -2 det ((1,2), (2, -1)) + 7 det ((1,1),(2, 1)) =
-3 +10 -7=0$

\noindent questo vuol dire che le tre colonne stanno nello stesso piano per l'origine.
Inoltre le prima due non sono allineate con l'origine. 
Quindi il sitema \`e risolubile se e solo se la colonna termine noto 
sta nello stesso piano per l'origine e le prime due colonne:
 il che \`e equivalente a imporre 

$det \left(\begin{array}{l}  1 \\ 
2 \\ 
7\end{array}  \begin{array}{l} 1 \\ 
1 \\
2 \end{array}  \begin{array}{l}1 \\ 
\alpha \\ 
 1 \end{array} \right)=0$

\noindent tale determinante \`e 

\noindent 
$1 det( (1,2), (\alpha,1)), -2 det ((1,2), (1, 1)) + 7 det ((1,1),(1, \alpha))=
1 -2\alpha -2 (1 -2) +7 (\alpha -1)=  5\alpha -4$.

\end{document}






