Matematica, Anno Accademico 2005-2006, Scienze Geologiche M. Novaga, V.M. Tortorelli

Breve compndio sul determinante dal 4 ottobre al 12 ottobre 2005

Programma, registro degli argomenti svolti e materiale relativo al corso possono essere reperiti in rete all’indirizzo http://www.dm.unipi.it/didactics/home.html ivi selezionando il nome del corso.

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Orientazione. Intuitivamente due coppie ordinate di vettori (non nulli e non paralleli) nel piano si dicono con la stessa orientazione se i secondi spazzano l’angolo convesso verso i primi nello “stesso senso”. Si scrive O(v, w) = 1 rispettivamente O(v, w) = −1, se la coppia di vettori del piano ha la stessa orientazione della coppia “canonica” ((1, 0), (0, 1)). Area orientata e determinante Data (v, w) si considera il parallelogramma P di vertici O, v, w, v + w generato. La quantità d(v, w) = O(v, w)Area(P) ha le proprietà:

d(v, w) = −d(w, v) (alternante),

d(v + tu, w) = d(v, w) + td(u, w), d(v, w + tu) = d(v, w) + td(v, u) (bilineare)

La seconda proprietà si deduce da tre fatti: d(tu,w)=td(u,w) (variando una dimensione l’area varia dello stesso fattore), d(v+tw,w)=d(v,w) (parallegrammi con stessa base ed altezza hanno stessa area), ogni u si scrive come sv+σw (a parte i casi “degeneri”).

- Analoghe considerazioni intuitive si fanno per 3 vettori ordinati in R^{3} riferendosi al volume orientato del parallelepipedo da essi individuato. Nel caso alternante vuol dire che se si scambiano due vettori della terna ordinata tra loro si cambia segno. Proposizione - Esiste un’unica funzione di coppie ordinate di vettori del piano cartesiano che sia bilineare, alternante e che valga 1in ((1, 0), (0, 1)): essa associa a (P, Q) = ((a, b), (α, β)) il numero a · β − b · α.

- Analogamente esiste un’unica funzione di terne ordinate di vettori dello spazio cartesiano che sia trilineare, alternante e che valga 1 in ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)): (P, Q, R) = ((a, b, c), (α, β, γ), (A, B, C))) ↦ a(βC − γB) − α(bC − cB) + A(bγ − βc) =

= a(βC − γB) − b(αC − Aγ) + c(αB − Aβ)

DEFINIZIONE: data una coppia ordinata (P, Q) di vettori nel piano cartesiano o una terna ordinata (P, Q, R) di vettori nello spazio cartesiano tali numeri sono detti determinanti, ed indicati rispettivamente con det(P, Q) e det(P, Q, R). DEFINIZIONE: una coppia ordinata di vettori di R^{2}, o una terna ordinata di vettori in R^{3}, si dicono avere orientazione positiva se il loro determinante è positivo. DEFINIZIONE: dati Q = (α, β, γ), R = (A, B, C) non nulli ne paralleli il vettore Q ∧ R =_{def} (βC − γB, −(αC − Aγ), αB − Aβ) si dice prodotto vettore. Si ha det(X, R, Q) = X • Q ∧ R.

- Q ∧ R è ortogonale a Q ed R; (Q ∧ R, Q, R) ha orientazione positiva, come (Q, R, Q ∧ R). Come per il prodotto scalare si ha:

- nel piano det(P, Q) = |P ||Q| sin θ, (θ è la misura dell’angolo P OQ orientato)

- nello spazio |P ∧ Q| = |P ||Q|| sin θ| È l’ area del parallelograma di vertici O, P, Q, P + Q . Con un minimo di fatica si prova che il modulo del determinante coincide con le altre nozioni di area o di volume.