Matematica, Anno Accademico 2005-2006, Scienze Geologiche M. Novaga, V.M. Tortorelli

DIFFERENZIABILITÀ 16 dicembre al 20 dicembre 2005

Programma, registro degli argomenti svolti e materiale relativo al corso possono essere reperiti in rete all’indirizzo http://www.dm.unipi.it/didactics/home.html ivi selezionando il nome del corso.

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TANGENZA A GRAFICI E DIFFERENZIABILITÀ

DEFINIZIONE Una funzione (x, y) ↦ f(x, y) si dice che ammette derivata parziale rispetto alla prima variabile nel punto (p, q) se la funzione di una variabile t ↦ f(t, q) è derivabile in p. Analogamente rispetto alla seconda variabile considerando la derivabolità in q di t ↦ f(p, t) Per più di due variabili si estende la definizone come segue (x_{1} … x_{k}) ↦ f(x_{1}, … x_{k}) si dice che ammette derivata parziale rispetto all’ i − esima variabile nel punto p = (p_{1} … p_{k}) se la funzione di una variabile t ↦ f(p_{1} … t_{io posto} … p_{k}) è derivabile in p_{i} Nel caso per le derivate parziali si usano le notazioni \frac{∂f}{∂x_{i}} (p), D_{x_{i}}f(p), D_{i}f(p) . DEFINIZIONE Una funzione si dice che ammette derivata direzionale nella direzione v ∈ R^{k}, v ≠ 0, in un punto p del suo dominio se la funzione di una variabile t ↦ f(p + tv) è derivabile in t = 0. In altre parole se la restrizione della funzione alla retta passante per p e di direzione v, intesa come composizione con la parametrizzazione lineare di tale retta t ↦ p+tv, risulta derivabile. In altri termini se il grafico di f intersecato il piano verticale per la retta di direzione v e passante per p è il grafico di una funzione derivabile di un avariabile. La notazione usata \frac{∂f}{∂v} (p), D_{v}f(p). OSSERVAZIONE Ammettere derivata parziale rispetto alla variabile i − esima è quindi la stessa cosa che avere derivata direzionale nella direzione dell’i − esimo asse coordinato:

\frac{∂f}{∂x_{i}} (p) = \frac{∂f}{∂e_{i}} (p) OSSERVAZIONE: quindi per calcolare la derivata parziale di una funzione f(x, y, z) di tre variabili rispetto alla seconda variabile nel punto (1, 2, 3) si calcola la funzione in (1, y, 3) e quindi si calcola la derivata di y ↦ f(1, y, 3) per y = 2. OSSERVAZIONE Una funzione vettoriale ammette derivate direzionali se e solo se ciò accade per le sue componenti.

Vale la pena provare la seguente proprietà PROPOSIZIONE Sia A aperto connesso. Allora una funzione che abbia le derivate parziali nulle in ogni punto di A è costante su A. DIM.: dati due punti di A li si può collegare con una spezzata con lati paralleli agli assi. Ma la funzione ristretta a questi lati ha derivata nulla per ipotesi quindi è costante su ognuno dei lati. In particolare ha lo stesso valore nei due arbitrari punti di A. PROBLEMA: si ricorda la definizione elementare di tangenza di un piano L ad un insieme C in un comune punto p: detta π_{L}(q) la proiezione ortogonale su L si deve avere lim_{q→p, q∈C} \frac{dist(q,π(q))}{dist(p,q)} = 0. Non è detto che per una funzione che in un punto p abbia tutte le derivate direzionali il grafico abbia un piano tangente in (p, f(p)). Anzi la funzione può risultare disconinua in tale punto:

Moltiplicando per x la funzione f si mostra che una funzione continua con tutte le derivate direzionale comunque può avere grafico senza piano tangente. Il concetto sufficiente per avere un grafico con piano tangente è quello di approssimazione lineare della funzione: DEFINIZIONE Sia f : A ⊆ R^{k} → R^{m}. p interno ad A. La funzione f si dice differenziabile in p se vi è una funzione lineare L_{p} : R^{k} → R^{m} ((L_{p}(v))_{i} = ∑_{1≤j≤k} a_{ij}v_{j}, 1 ≤ i ≤ m, l’approssimante lineare) per cui

f(x) = f(p + v) = f(p) + L_{p}(x − p) + ε con lim_{x→p} \frac{|ε|}{|x − p|}

Nel caso si usa la notazione L_{p} = df_{p}: tale applicazione lineare si dice differenziale di f in p Per esemplificare nel caso k = 2, m = 1, p = (x_{0}, y_{0}) devono esistere due numeri a, b per cui

lim_{(x,y)→(x_{0},y_{0})} \frac{f(x, y) − f(x_{0}, y_{0}) − a(x − x_{0}) − b(y − y_{0})}{\sqrt{(x − x_{0})^{2} + (y − y_{0})^{2}}} = 0

il differenziale di f in p è quindi l’applicazione lineare (u, v) ↦ au + bv = (a, b) · (u, v) OSSERVAZIONE: immediatamente confrontando le definizioni nel caso k = 1 si ha che una funzione vettoriale di una variabile è differenziabile se e solo se è derivabile OSSERVAZIONE: se la funzione è differenziabile in un punto allora esistono tutte le derivate parziali: per l’osseravzione precedente e la definizione di differenziabilità con x = p + te_{i} Si ottiene che (df_{p}v)_{i} = ∑ \frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (p)v_{j}. Ovvero la matrice associata all’applicazione lineare differenziale è qualla che ha come righe le derivate parziali delle funzioni componenti. Analogamente se f è differenziabile in p allora ha le derivate direzionali in p e \frac{∂f}{∂v} (p) = df_{p}v NOTAZIONE: nel caso m = 1 se una funzione è differenziabile in p il vettore con componenti le derivate parziali si dice gradiente della funzione nel punto e si scrive ∇f(p). Le derivate direzionali sono quindi v · ∇f(p) In generale la matrice con m righe e k colonne associata al differenziale di una funzione da R^{k} in R^{m}, (\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (p))_{{1≤i≤m \atop 1≤j≤k}} si dice matrice Jacobiana, indicata anche con \frac{∂f}{∂x} (p), in maniera suggestiva

se si unifica con la notazione y = f(x) si ottiene \frac{∂y}{∂x}.

OSSERVAZIONE Per una funzione differenziabile a valori reali ∇f(p) se non nullo da la direzione di massima crescita della funzione nel punto: ovvero

max_{|v|=1} lim_{t→0,t>0} \frac{f(p+tv)−f(p)}{t} = |∇f(p)| TEOREMA 1 Se f : A ⊆ R^{k} → R^{n} è differnziabile in p allora il grafico di f ha nel punto (p, f(p)) un piano k dimensionale tangente che è il grafico traslato nel punto (p, f(p)) della funzione lineare differenziale in p: cioè il grafico di x ↦ f(p) + ∑ \frac{∂f}{∂x_{j}} (p)(x_{j} − p_{j}). Per esemplificare nel caso k = 2 ed m = 1, funzioni di due variabili a valori reali, il piano tangente al grafico in (p, q, f(p, q)) è il grafico della funzione lineare affine

(x, y) ↦ f(p, q) + \frac{∂f}{∂x} (p,q)(x − p) + \frac{∂f}{∂y} (p,q)(y − q). Come luogo di zeri in R^{3} è

\frac{∂f}{∂x} (p.q)x + \frac{∂f}{∂y} (p,q)y − z − \frac{∂f}{∂x} (p,q)p − \frac{∂f}{∂y} (p,q)q + f(p, q) = 0 Per il calcolo effettivo utilizzando le derivate parziali e la verifica che una funzione è

differenziabile una condizione sufficiente, se pur non necessaria, è data dal seguente teorema TEOREMA 2 (Differenziale totale) Si consideri una funzione che ha tutte le derivate parziali in una palla di centro un punto interno p del suo dominio di definizione. Se le derivate parziali sono continue nel punto p allora la funzione è differnziabile almeno nel punto stesso. TEOREMA 3 Un funzione differenziabile in p è continua in p. DEFINIZIONE Sia A aperto di R^{k}. Sia f una funzione a valori in R^{m} differenziabile in ogni punto di A. La funzione che associa ad un punto di A il differenziale di f in quel punto si dice funzione differenziale o funzione tangente alla funzione f. Identificando lo spazio vettoriale delle funzioni lineari da R^{k} in R^{m} con R^{mk} la funzione differenziale è individuata dalla funzione da A in R^{mk} data da x ∈ A ↦ (D_{1}f_{1}(x), … D_{k}f_{1}(x), …, D_{1}f_{m}(x) … D_{k}f_{m}(x))

REGOLE PER LE FUNZIONI DIFFERENZIABILI

Dalla derivabilità delle funzioni elementari di una variabile, dai seguenti asserti e dal teorema del differenziale totale si può riconoscere la differenziabiltà di molte funzioni PROPOSIZIONE Le funzioni costanti sono diffrenziabili in ogni punto e il loro differnziale è la funzione lineare nulla. PROPOSIZIONE Le funzioni lineari affini

(x_{1} … x_{k}) ↦ (a_{11}x_{1} + … a_{1k}x_{k} + b_{1}, … a_{m1}x_{1} + … a_{mk}x_{k} + b_{m}) = Ax + b =: f(x) sono differenziabili in ogni punto p il loro differenziale è indipendente dal punto ed è la parte lineare della funzione stessa df_{p}(v) = (a_{11}v_{1} + … a_{1k}v_{k}, … a_{m1}v_{1} + … a_{mk}v_{k}) = Av. In effetti nel caso si ha f(x) = f(p) + A(x − p) con resto nullo, ovvero per funzioni a valori reali di due variabili affini ax + by + c le derivate parziali sono rispettivamente le funzioni costanti a e b che sono ovviamente continue. PROPOSIZIONE Il prodotto di due funzioni a valori reali differnziabili in p è differnziabile in p e vale la formula analoga a quella delle derivate: d(f · g)_{p} = f(p)dg_{p} + g(p)df_{p} TEOREMA 4 (Differenziale di una funzione composta, Regola della catena) Siano f : A ⊆ R^{k} → B ⊆ R^{m}, g : B → R^{h}, y = f(x) Se g è differenziabile in y = f(p) ed f è differnziabile in x = p allora la funzione composta g∘f, x ↦ g(f(x)) =: g∘f(x) : A → R^{h} è differenziabile in p. Il suo differenziale è dato dall’iterazione dei differenziali: dg∘f_{p}(v) = dg_{f(p)}(df_{p}(v)) In particolare vale la seguente regola della catena per le derivate parziali:

\frac{∂g(f(x))}{∂x_{i}}(p) = ∑_{1≤j≤m} \frac{∂g}{∂y_{j}} (f(p))\frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} (p) = ∑_{1≤j≤m} \frac{∂g}{∂y_{j}} \frac{∂y_{j}}{∂x_{i}}

COROLLARIO Se f e df_{p} sono invertibili allora vi è df_{f(p)}^{−1} = (df_{p})^{−1}, i.e. \frac{∂x}{∂y} = (\frac{∂y}{∂x})^{−1}. OSSERVAZIONE: ne segue che le funzioni differenziabili su un dato insieme a valori in R^{m} sono uno spazio vettoriale: per esempio x ↦ f(x) + g(x) si vede come composizione di (u, v) ↦ u + v con x ↦ (f(x), g(x)).

TANGENTE AD IMMAGINI

Come già osservato, data una funzione vettoriale di una variabile derivabile x ↦ f(x) se per un valore del parametro z si ha f′(z) ≠ 0 allora l’immagine di un intervallo sufficientemente piccolo attorno a z ha tangente nel punto f(z) data dall’immagine del cammino lineare t ↦ f(z) + tf′(z): poichè vi è differenziabilità f(x) = f(z) + f′(z)(x − z) + ε con |ε|/|x − z| → 0 per x → z. Quindi confrontando la distanza tra un punto dell’immagine dalla sua proiezione ortogonale sulla retta in questione:

\frac{|f(x) − (((f(x) − f(z)) · \frac{f′(z)}{|f′(z)|}) \frac{f′(z)}{|f′(z)|} + f(z))|}{|f(x) − f(z)|} = \frac{|ε − (ε · \frac{f′(z)}{|f′(z)|}) \frac{f′(z)}{|f′(z)|} |}{|f′(z)(x − z) + ε|} ≤ \frac{2|ε|}{|f′(z)(x − z) + ε|}

infinitesimo (analoga la prova che il grafico di una funzione differenziabile ha piano tangente)

- Se in un punto f(y) “ci si ferma” (“velocità ” nulla f′(y) = 0) in effetti si può ripartire con inclinazione diversa: e.g. f(x) = (x^{3}, |x|x^{2}), x = y = 0, la cui immagine è il grafico del modulo che non ha una sola tangente in (0, 0).

- D’altronde un cammino può ripassare con diversa inclinazione per punti ove è “già ” passato, per questo il vettore derivata nonnullo da la tangente solo all’immagine di un segmento abbastanza piccolo: e.g. f(x) = (cos x, sin 2x)

“passa” da (0, 0) sia per x = y_{1} = π/2 che per x = y_{2} = 3π/2 ma con velocità sghembe.

- Per un cammino derivabile con derivata sempre nonnulla ed iniettivo vi è quindi tangente in ogni punto dell’immagine. Il grafico di una funzione di una variabile x ↦ g(x) derivabile può essere visto come immagne di un cammino vettoriale x ↦ f(x) = (x, g(x)) che è sempre iniettivo e con vettore derivata f′(x) = (1, g′(x)) sempre nonnullo. Quindi per il grafico di una funzione f di più variabili differenziabile in un punto p i cammini t ↦ (p + tv, f(p + tv)) hanno immagini con tangente nel punto (p, f(p)) data dalla retta s ↦ (p + sv, f(p) + s\frac{∂f}{∂v} (p)) = \frac{d(p+tv,f(p+tv))}{dt} (s).

- Per le immagini di funzioni vettoriali f di più variabili differenziabili vale il seguente: TEOREMA 5 (del rango) Sia f : A ⊆ R^{k} → R^{k+h} con derivate parziali continue. Se la matrice del differenziale df_{p} ha rango massimo (l’immagine dell’applicazione lineare (t_{1} … t_{k}) ↦ df_{p}(t_{1} … t_{k}) ha dimensione k) vi è una palla B_{r}(p), centro p e raggio r , per cui:

1- l’immagine della palla f(B_{r}(p)) è grafico di una funzione differenziabile con derivate continue rispetto al k-piano per l’origine di R^{m} immagine del differenziale (localmente grafico) 2- il k-piano tangente in f(p) a f(B_{r}(p)) è il traslato di questo

f(p) + t_{1} \frac{∂f}{∂x_{1}} (p) … + t_{k} \frac{∂f}{∂x_{k}} (p) = f(p) + df_{p}(t_{1} … t_{k}) cioè i vettori delle derivate parziali \frac{∂f}{∂x_{1}} (p), … \frac{∂f}{∂x_{k}} (p) sono base del k-piano tangente in f(p). Per superficie in R^{3} (x_{1}, x_{2}) ↦ f(x_{1}, x_{2}) il tangente in f(p) in coordinate cartesiane è dato dalla condizione di ortogonalità ((x, y, z)−f(p))· \frac{∂f}{∂x_{1}} (p)∧ \frac{∂f}{∂x_{2}} (p)=det((x, y, z)−f(p), \frac{∂f}{∂x_{1}} (p), \frac{∂f}{∂x_{2}} (p))=0 TANGENTE A LUOGHI DI ZERI Dato l’insieme di livello C = {x : f(x) = f(p)} di una funzione a valori reali differenziabile

in un punto p si conisdera un cammino derivabile γ : [−1, 1] → C tutto in C che all’istante t = 0 passi per p con velocità v non nulla (γ(0) = p, γ′(0) = v). Poichè tale cammino sta in C la funzione t ↦ f(γ(t)) risulta essere costante. La sua derivata è nulla. per cui γ′_{1}(0)\frac{∂f}{∂x_{1}} (p) + … + γ′_{k}(0)\frac{∂f}{∂x_{k}} (p) = 0 cioè ∇f(p) è ortogonale a tutte le direzioni tangenti a curve che giacciono su {f(x) = f(p)}. Necessariamente se l’insieme di livello avesse un piano tangente in p dovrebbe essere l’ortogonale alla direzione individuata da ∇f(p).

Il seguente teorema asserisce che per una funzione differenziabile con derivate continue se \frac{∂f}{∂v} (p) ≠ 0 allora l’insieme che passa per p ove f è costante, \{x : f(x) = f(p)\}, “vicino a p” è il grafico rispetto all’iperpiano ortogonale alla direzione v di una funzione con derivate continue. Si considera come direzione quella dell’ultima coordinata, e, dato x = (x_{1}, … x_{k}) ∈ R^{k}, si pone x′ = (x_{1}, … x_{k−1}), x′′ = x_{k}, identificando x con (x′, x′′).

TEOREMA 6(Teorema del Dini delle funzioni implicite) Sia f : A ⊆ R^{k} → R con derivate continue. Se \frac{∂f}{∂x_{k}} (p) ≠ 0 vi sono: R > 0, r > 0, φ : B_{R}(p′) → [p_{k} − r, p_{k} + r] = B_{r}(p′′) per cui:

1- x_{k} = x′′ = φ(x′) ⇔ |x′ − p′| ≤ R, |x′′ − p′′| ≤ r e f(x) = f(x′, x′′) = f(p)

2- φ è differenziabile con derivate continue e dalla regola della catena si ha

\frac{∂x_{k}}{∂x_{i}} (p′) = \frac{∂φ}{∂x_{i}} (p′) = − \begin{matrix}\frac{∂f}{∂x_{i}} & (p) \\ \frac{∂f}{∂x_{k}} & (p) \end{matrix}

COROLLARIO Nelle precedenti ipotesi l’insieme {x : f(x) − f(p) = 0}, luogo di zeri, ha piano tangente in p dato dal luogo di zeri del differenziale traslato in p:

(x_{1} − p_{1})\frac{∂f}{∂x_{1}} (p) + … + (x_{k} − p_{k})\frac{∂f}{∂x_{k}} (p) = (x − p) · ∇f(p) = df_{p}(x − p) = 0

OSSERVAZIONE: i seguenti esempi mostrano che le precisazioni nell’enunciato sono necessarie. Con k = 2 e f(x, y) = x^{2}−y^{2}, p = (0, 0) il livello zero della funzione è dato da due rette incidenti che non sono grafico rispetto ad alcuna direzione in nessun rettangolo contenente p . Con f(x, y) = x − sin y si vede che è necessario restringere il luogo di zeri anche nella direzione dei valori della funzione implicita perchè sia un grafico. Con f(x, y) = x^{2} + y^{2} e p = (0, 1) si vede che è necessario restringersi nel dominio. OSSERVAZIONE: se la derivata direzionale rispetto a v è nonnulla in p allora il livello della funzione per p in un “cilindro retto” con altezza parallela a v è un grafico

Più in generale vale il seguente teorema delle funzioni implicite che permette di identificare i tangenti agli insimei di soluzioni di sistemi di equazioni. Il precedente teorema rientra nel seguente enunciato con m = 1 e h = (k − 1).

Si introducono le seguenti notazioni:

Se f : A ⊆ R^{m+h} → R^{m} e x_{j_{1}}, … x_{j_{m}} sono m distinte variabili tra quelle di x = (x_{1} … x_{k}) con \frac{∂f}{∂(x_{j_{1}}...x_{jm})} (p) si indica (\frac{∂f_{i}}{∂x_{jr}} (p))_{{1≤i≤m \atop 1≤r≤m}}, la matrice quadrata m × m estratta dalla matrice

Jacobiana di f scegliendo solo le colonne delle derivate rispetto alle m variabili prescelte.

In termini più geometrici significa che si sta considerando la restrizione del differenziale di f in p al sottospazio generato da e_{j_{1}} … e_{j_{m}}. Più in generale se W è un sottospazio di dimensione r generato da v_{1} … v_{r} con \frac{∂f}{∂W} (p) o \frac{∂f}{∂(w_{1}...w_{r})} (p) si indica la restrizione di df_{p} a W.

A livello di differenziali \frac{∂f}{∂W} (p) è il differenziale in 0 della funzione di r variabili s = (s_{1}, … s_{r}) ↦ f(p + s_{1}v_{1} + … + s_{r}v_{r}) = g(s) che si identifica con il differenziale in p della restrizione di f a p + W.

Se x ∈ R^{m+h} si identifica con (x′, x′′), ove x′ ∈ R^{h} sono le prime h coordinate di x e x′′ ∈ R^{m} le ultime m coordinate di x.

TEOREMA 7 Sia f : A ⊆ R^{m+h} → R^{m} con derivate continue. Se df_{p} ha rango massimo, ovvero la sua immagine ha dimensione m, per esempio det (\frac{∂f}{∂x_{1+h}} (p) … \frac{∂f}{∂x_{m+h}} (p)) ≠ 0 allora vi sono:

R > 0, r > 0, φ : B_{R}(p′) → B_{r}(p′′) per cui:

1- x′′ = φ(x′) (x_{h+j} = φ_{j}(x_{1} … x_{h}), 1 ≤ j ≤ m) ⇔ |x′′ − p′′| ≤ r e f(x) = f(x′, x′′) = f(p)

2- φ è differenziabile con derivate continue. Poichè x′ ↦ f(x′, φ(x′)) è costante ha derivate nulle, dalla regola della catena si ha considerando le funzioni coordinate di f e φ come colonne

\frac{∂f_{r}}{∂x_{i}} +∑_{1≤j≤m} \frac{∂f_{r}}{∂x_{h+j}} \frac{∂φ_{j}}{∂x_{i}} = 0 cioè \frac{∂f}{∂x_{i}} +\frac{∂f}{∂(x_{h+1}...x_{h+m})} \frac{∂φ}{∂x_{i}} = 0 quindi \frac{∂φ}{∂x_{i}} = − (\frac{∂f}{∂(x_{h+1}...x_{h+m})})^{−1} \frac{∂f}{∂x_{i}}

cioè dφ_{x′} = \frac{∂x′′}{∂x′} = − (\frac{∂f}{∂(x_{h+1}...x_{h+m})} (x′,φ(x′)))^{−1} \frac{∂f}{∂(x_{1}...x_{h})} (x′,φ(x′))

e dalla regola di Cramer si ha \frac{∂x_{h+j}}{∂x_{i}} (p′) = \frac{∂φ_{j}}{∂x_{i}} (p′) = −\frac{det_{\frac{∂f}{∂(x_{h+1}..._{j^{o} posto} x_{i}...x_{h+m})}} (p)}{det \frac{∂f}{∂(x_{h+1}...x_{h+m})} (p)}

OSSERVAZIONE: a meno di un cambiamento di coordinate si ha che se il differenziale df_{p} ristretto ad un sottospazio W di dimensione m risulta invertibile, considerato V il sottospazio di dimensione h per cui ogni x ∈ R^{h+m} sè eguale a x_{v} +x_{w} con x_{v} ∈ V e x_{w} ∈ W e x_{v} ·x_{w} = 0 allora vi sono R, r per cui {f(x) = f(p)} ∩ (V ∩ B_{R}(p_{v}) × W ∩ B_{r}(p_{w})) è il grafico rispetto a V di una funzione φ e dφ_{x_{v}} = − (\frac{∂f}{∂W} (x))^{−1} · \frac{∂f}{∂V} (x)

TEOREMA DI INVERTIBILITÀ LOCALE

Il caso limite dei teoremi di rango e delle funzioni implicite è il seguente teorema:

TEOREMA 8: (Invertibilità Locale) Sia f : A ⊆ R^{m} → R^{m} con derivate continue x ↦ f(x) = y. Se df_{p} è un’applicazione lineare invertibile (det (\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (p))_{{1≤i≤m \atop 1≤j≤m}} ≠ 0) allora vi è R > 0 per cui :

1- B_{R}(p) ⊆ A, f ristretta a B_{R}(p) è invertibile, f(p) è interno a f(B_{R}(p))

2- quindi detta g (y ↦ g^{−1}(y) = x) la restrizione di f si ha

\frac{∂x_{i}}{∂y_{j}} = \frac{∂(g^{−1})_{i}}{∂y_{j}} (y) = (−1)^{i+j} \frac{det \frac{∂(f_{1}...f_{j−1},f_{j+1}...fm)}{∂(x_{1}...x_{i−1}x_{i+1}...xm)} (g^{−1}(y))}{det \frac{∂f}{∂(x_{1}...xm)} (g^{−1}(y))} = (−1)^{i+j} \frac{det \frac{∂(y_{1}...y_{j−1},y_{j+1}...ym)}{∂(x_{1}...x_{i−1}x_{i+1}...xm)}}{det \frac{∂y}{∂x}}