Matematica, Anno Accademico 2005-2006, Scienze Geologiche M. Novaga, V.M. Tortorelli

II foglio di esercizi dal 14 ottobre al 28 ottobre 2005

Programma, registro degli argomenti svolti e materiale relativo al corso possono essere reperiti in rete all’indirizzo http://www.dm.unipi.it/didactics/home.html ivi selezionando il nome del corso.

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PRINCIPIO DI INDUZIONE Partendo dagli assiomi di R ed da quello dell’esistenza di intersezioni infinite si identifica l’insieme dei numeri naturali come segue:

N = ⋂{A ⊆ R : 1 ∈ A, x ∈ A ⇒ x + 1 ∈ A}. a - Si ha che se A ⊆ N, m ∈ A, x ∈ A ⇒ x + 1 ∈ A allora A è l’insieme dei naturali più grandi di m. b- Ciò è equivalente a dire che se un proprietà vale per 1 e “passa al successore” allora vale per tutti i numeri naturali. c- Ciò è anche equivalente a dire che ogni sottoinsieme di N ha minimo. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 - Per quali naturali si ha rispettivamente 2^{n} − 2 ≥ n^{2}, n; 3^{n} ≥ n2^{n}?

- Provare ∑_{k=1}^{n}(2k − 1) = n^{2}; ∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}; ∑_{k=1}^{n} k^{3} = (∑_{k=1}^{n} k)^{2}.

- Provare 1 + 2x + 3x^{2} + … nx^{n−1} = \frac{1−(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1−x)^{2}} ,

- Sia a_{1} ≥ 3 e a_{n+1} = a_{n}^{2} − a_{n}. Provare che per ogni n si ha a_{n} ≥ 2 e quindi che a_{n+1} ≥ a_{n}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.2 - Si consideri la seguente proprietà D_{n}:

comunque siano dati n numeri non negativi si ha \sqrt[n]{x_{1} … x_{n}} ≤ \frac{x_{1}+...x_{n}}{n}.

- Si provi che se vale D_{n} vale D_{2n}.

- Si provi che se vale D_{n+1} vale D_{n}. Si deduca che per ogni n vale D_{n}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 - Si usi la proprietà provata nel precedente esercizio per mostrare che (1 + \frac{x}{n+1})^{n+1} ≥ (1 + \frac{x}{n})^{n} (se n > 1 − x),

(1 + \frac{1}{n})^{n+1} ≥ (1 + \frac{1}{n+1})^{n+2}, ^{n} \sqrt{n} ≥ ^{n+1} \sqrt{n + 1} (se n ≥ 4). ————————————————————————————————————————–

NOTAZIONE:

A + B = {x ∈ R : ∃a ∈ A, b ∈ B x = a + b}, λA = {x ∈ R : ∃a ∈ A x = λa}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Provare che: a - se A ⊆ B allora sup A ≤ sup B e inf B ≤ inf A; b - sup A ∪ B = max{sup A, sup B}, inf A ∪ B = min{inf A, inf B}, sup ⋃_{i∈I} A_{i} = sup_{i∈I} sup A_{i};

c - sup A + B = sup A + sup B, sup −A = − inf A, sup γ^{2}A = γ^{2} sup A; d - se f : I → R, g : I → R allora: sup_{x,y∈I} f(x) + g(y) = sup_{x∈I} f(x) + sup_{x∈I} g(x) ≥ sup_{x∈I} f(x) + g(x).

Si provi che la diseguaglianza è necessaria, e si trovi e provi un analogo enunciato per l’estremo inferiore;

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ESERCIZIO n. 5 Si disegnino in modo o approssimativo i grafici delle funzioni: x ↦ |x|, x ↦ x^{2}, x ↦ x^{3} x ↦ x^{5}, x ↦ x^{4}, x ↦ |x|^{7}; x ↦ \sqrt{x}, x ↦ ^{3} \sqrt{x}, x ↦ ^{4} \sqrt{|x|}; x ↦ ^{15} \sqrt{x + 5} − 3, x ↦ −\sqrt{2 − x}, x ↦ ^{3} \sqrt{3x − 3}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 - Traslando il grafico di x ↦ x^{2} con uno spostamento di (4, 0) di quale funzione si ottiene il grafico?

- Traslando il grafico di x ↦ x^{3} con uno spostamento di (−1, 0) ?

- Traslando il grafico di x ↦ |x| con uno spostamento di (−1, 2)?

- Il simmetrico rispetto all’asse verticale del grafico di x ↦ (x − 1)^{2} + (x − \sqrt{3})^{3} di che funzione è grafico?

- Il simmetrico rispetto all’asse verticale del grafico di x ↦ x^{3} − 6x − x^{2} ?

- Il simmetrico del grafico di x ↦ (x − 2)^{3} + 1 rispetto alla bisettrice degli assi?

- Che dire della stessa simmetria per il grafico di x ↦ x^{2}? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 In generale se g(f(x)) = x il grafico di g sull’immagine di f si ottiene dal grafico di f per simmetria rispetto alla bisettrice. ————————————————————————————————————————–

DEFINIZIONE: Una funzione a valori reali definita su un convesso f si dice convessa se e solo se il suo sopragrafico {(x, y) : y ≥ f(x)} è convesso. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Una funzione è convessa se e solo se f((1 − t)a + tb) ≤ (1 − t)f(a) + tf(b) per ogni numero t ∈ [0; 1]. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 Disegnare i grafici delle funzioni: x ↦ − sin x, x ↦ sin 3x, x ↦ cos \frac{x}{2}, x ↦ 3 sin x, x ↦ tan(x − \frac{π}{2}), x ↦ | sin x|, x ↦ sin^{2} x, x ↦ e^{−x}, x ↦ log(1 + 2x + x^{2}), x ↦ 3e^{x−1} − 2, | log |x − 1||. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 Dire se le seguenti funzioni sono periodiche ed indicarne il periodo: x ↦ sin(π^{2}−πx), x ↦ e^{| sin x|+| cos x|}, x ↦ sin(x^{2}), x ↦ log(3 sin^{2} x+sin \frac{x}{2}), x ↦ sin^{5} x+3 cos^{7} 2x+1. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Scrivere in fissate coordinate cartesiane (e come funzione delle coordinate (x, y) del punto da trasformare) le seguenti trasformazioni affini del piano o dello spazio:

- simmetria rispetto al punto (1, 2)

- simmetria rispetto alla generica retta passante per l’origine

- simmetria rispetto alla retta passante per (2, 3) e parallela a (3, 4)

- rotazione antioraria di un sesto di ‘angolo giro’ attorno all’origine

- rotazione antioraria di un ottavo di ‘angolo giro’ attorno al punto (4, 5)

- simmetria rispetto al punto (1, 2, 3)

- simmetria rispetto al piano x − y + z = 0

- simmetria rispetto al piano x − y + z = 3

- rotazione antioraria di un angolo retto attorno all’asse verticale (0, 0, 1)

- rotazione di un angolo retto attorno all’asse orientato positivamente dall’origine a (1, 1, 1) in senso antiorario. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 Scrivere in fissate coordinate cartesiane (e come funzione delle coordinate (x, y) del punto da trasformare) le seguenti trasformazioni affini dal piano o dello spazio: la dilatazione di centro (1, 1) e fattore di scala \frac{1}{2}; la dilatazione anisotropa di centro (1, 1) e fattore di scala \frac{1}{2} nella direzione (1, 2) e fattore 2 nella direzione (2, 1). dilatazione anisotropa di centro l’origine e fattori di scala 2, 4, − 1 nelle direzioni (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 2, 3) ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 13 A che trasformazioni del piano o dello spazio corrsipondono le seguenti funzioni: (x, y) ↦ (−y, x),(\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y + 1, \frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y − 1), (x − y, x + y); (x, y, z) ↦ (x, −y, −z), (x, y, 0), (\frac{1}{2}x, 2y, 0) ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 14 - Date due rette nel piano che trasformazione si ottiene facendo prima la simmetria rispetto ad una di esse e quindi la simmetria rispetto la seconda?

- Scambiando l’ordine di queste simmetrie quando si ottiene lo stesso risultato? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 15 Una trasformazione che manda ogni retta in un’altra retta parallela alla prima e non lascia nessun punto fisso del piano è una traslazione.

- Una trasformazione che manda ogni retta in un’altra retta parallela alla prima e lascia un punto del piano fisso è una dilatazione rispetto ad un punto. -Dati due segmenti paralleli quante sono le traslazioni e le dilatazioni che trasformano uno nell’altro? -Dati quattro punti A ≠ B, C ≠ D vi è un’unica traslazione o dilatazione che trasforma A in C e B in D. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 16 Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari bigettive che trasformano x^{2} + y^{2} = 1 in se? -Quali sono tutte e sole le trasformazioni lineari bigettive che trasformano |x| + |y| = 1 in se?

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 17 Siano a, b ∈ R tali che a^{2} + b^{2} = 1. La funzione R : R^{2} → R^{2}, definita da R(x, y) = (ξ, η), ξ = ax + by, η = −bx + ay, definisce una rotazione del piano (attorno all’origine). Si provi che:

(i) si ha ξ^{2} + η^{2} = x^{2} + y^{2} per ogni (x, y) ∈ R^{2};

(ii) posto U = R(1, 0), V = R(0, 1), le rette per O, U e per O, V formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato positivamente;

(iii) posto (ξ′, η′) = R(x′, y′), si ha (ξ − ξ′)^{2} + (η − η′)^{2} = (x − x′)^{2} + (y − y′)^{2} per ogni (x, y), (x′, y′) ∈ R^{2}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 18 Siano a, b ∈ R tali che a^{2} + b^{2} = 1. La funzione S : R^{2} → R^{2}, definita da S(x, y) = (ξ, η), ξ = ax + by, η = bx − ay, definisce una simmetria del piano (rispetto all’origine). Si provi che:

(i) si ha ξ^{2} + η^{2} = x^{2} + y^{2} per ogni (x, y) ∈ R^{2};

(ii) posto U = S(1, 0), V = S(0, 1), le rette per O, U e per O, V formano un sistema di coordinate ortogonali monometriche orientato negativamente;

(iii) posto (ξ′, η′) = S(x′, y′), si ha (ξ − ξ′)^{2} + (η − η′)^{2} = (x − x′)^{2} + (y − y′)^{2} per ogni (x, y), (x′, y′) ∈ R^{2}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.19 Si provi che tutte e sole le trasformazioni lineari del piano che conservano il prodotto scalare sono le isometrie lineari (rotazioni e riflessioni).

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 20^{∗∗} Le trasformazioni T bigettive del piano che mandano rette in rette sono tutte e sole le trasformazioni affini (T (x, y) − T (0, 0) è lineare) e bigettive. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 21^{∗∗} Le trasformazioni del piano che conservano le distanze sono affini e la loro parte lineare è data da matrici con colonne ortogonali di norma 1, che rappresentano rotazioni e riflessioni. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.22 Le trasformazioni lineari del piano che conservano gli angoli tra due semirette sono tutte e sole quelle del tipo (x, y) ↦ (ax + by, −bx + ay), (ax + by, bx − ay). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 23 Si considerino i luoghi dei punti di R^{2} descritti dalle seguenti equazioni:

(i) x^{2} + y^{2} − 1 = 0, (v) x^{2} + y^{2} + xy = 0,
(ii) x^{2} + y^{2} = 0,  (vi) x^{2} − y^{2} = 0,
(iii) x^{2} + y^{2} + 1 = 0, (vii) x^{2} + y^{2} + 2x + 2y + 2 = 0,
(iv) x^{2} + y^{2} + 2xy = 0, (viii) (x^{2} − 1)^{2} + y^{2} = 0,

e si riconosca quale delle precedenti equazioni rappresenta:

(a) nessun punto,  (d) una retta,
(b) un punto,  (e) due rette,
(c) due punti,  (f) una circonferenza.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 24 Riconoscere che tipo di coniche definiscono rispettivamente i seguenti luoghi di zeri: x^{2} +y^{2} +2xy = 0, xy = 1, (x−y)^{2} = (x+y)^{2}, x^{2} +y^{2} −6xy −x+4 = 0, xy −23y +8y −1 = 0, 3x^{2} + 2y^{2} − 3xy + x + y − 100 = 0. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 25 Verificare che:

- un ellisse è il luogo dei punti con somma delle distanze da due punti fissi costante;

- un iperbole è il luogo dei punti con differenza delle distanze da due punti fissi costante;

- una parabola è il luogo dei punti equidistanti da una retta fissa e da un punto fisso. ————————————————————————————————————————– OSSERVAZIONE si può verificare dando la nozione di tangenza che se una retta interseca una conica non degenere in un sol punto è ad essa tangente in quel punto. DEFINIZIONE - Si dice cammino di riflessione rispetto ad una retta per un suo punto l’unione di due semirette (lati) con origine nel punto e simmetriche rispetto all’asse perpendicolare alla retta nel punto.

- Un cammino di riflessione rispetto ad un insieme in un suo punto è un cammino di riflessione rispetto all’eventuale retta tangente all’insieme dato in questo suo punto. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 26 Verificare che:

- i cammini di riflessione rispetto ad una parabola con un lato parallelo all’asse della stessa hanno l’altro che passa per il fuoco della parabola;

- i cammini di riflessione rispetto ad un’elisse che hanno un lato che passa per un fuoco hanno il secondo lato che passa per l’altro fuoco;

- i cammini di riflessione rispetto ad un iperbole che hanno un lato passante per un fuoco hanno prolungamento del secondo lato passante per l’altro fuoco. ————————————————————————————————————————–