Matematica, Anno Accademico 2005-2006, Scienze Geologiche VI foglio di esercizi: M.Novaga, V.M. Tortorelli dal gennaio 2006 al gennaio 2006

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————————————————————————————————————————– DEFINIZIONE: Una funzione x ↦ F (x) definita su un intervallo I si dice primitiva sull’intervallo di una funzione x ↦ f(x) se: F è derivabile su I e F′ = f su I. La famiglia delle primitive di f su un intervallo si indica con ∫^{x} f. Due primitive su un intervallo differiscono per una costante. TEOREMA [FONDAMENTALE DEL CALCOLO: area calcolata con le primitive] Se f è continua su [a; b] allora:

i- La funzione integrale ∫_{a}^{x} f(y)dy è una primitiva

ii- per ogni altra F primitiva di f su [a; b] si ha: ∫_{a}^{b} f(x)dx = F (b) − F (a). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 a- [PRIMITIVE DI BASE] Si determinino le primitive nulle in x = 0 delle seguenti funzioni: e^{x}, x^{2}, \sqrt{x}, x^{a} (a ≠ −1), \frac{1}{x+1}, sin x, cos x, \frac{1}{cos^{2} x}, 1+tan^{2} x, , \frac{1}{1+x^{2}} , \frac{1}{1−x^{2}} , \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} [R. log(x + \sqrt{1 + x^{2}}) l’inversa arcosenoiperbolico: arsinhx = \frac{e^{x}−e^{−x}}{2} ].

b- [SOSTITUZIONE] Si risponda allo stesso quesito nei casi seguenti tenendo presente la regola della catena F (x) = G(t(x)) : \frac{dF}{dx} (x) = \frac{dG}{dt} (t(x)) \frac{dt}{dx} (x), t = t(x):

2xe^{x^{2}}, 10x(1 + x^{2})^{4}, \sqrt{5x + 9}, \frac{1}{\sqrt{5x+9}}, \frac{1}{5x+e}, \frac{4x}{144+x^{2}} , \frac{log(1+x)}{1+x}, tan x, \frac{g′(x)}{g(x)}, e^{2x} cos e^{2x}, cos x sin^{501} x, \frac{1}{144+x^{2}} , \frac{e^{x}}{1+2e^{x}+e^{2x}} , \frac{cos x}{\sqrt{9}−sin^{2} x}, sin^{2} x [1 − 2 sin^{2} x = cos^{2} x − sin^{2} x = cos 2x], \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1+x}}.

c- [RAZIONALI SEMPLICI] \frac{x}{(x^{2}+1)^{n}} , \frac{1}{(x+1)^{n}} , \frac{1}{x^{2}−1}, \frac{x}{1+x}, \frac{x+4}{(x+1)^{2}−6(x+1)}, \frac{1}{x^{2}+1}, \frac{1}{x^{4}+1}, \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}} .

d- [PARTI] Si risponda allo stesso quesito nei casi seguenti tenendo presente la regola della derivata di un prodotto F′ = G′H = (GH)′ − GH′ x sin x, xe^{x}, x^{2}e^{x}, x^{3} cos x, x sin^{2} x, arsinx, x^{a} log x, log^{2} x, e^{x}(1 + x) log x, sin ax cos bx

e- [SOSTITUZIONE INVERSA] G(t) = F (x(t)) : \frac{dF}{dx} (x(t)) = \frac{dG}{dt} (t) (\frac{dx}{dt} (t))^{−1}, x = x(t), per avere la risposta bisogna quindi trovare l’inversa di t ↦ x(t): \frac{\sqrt{2+x}}{1+x} [x = t^{2} − 2], \frac{1}{1+tan^{2} x} [x = artan t], \sqrt{1 − x^{2}} [x = cos t], cos(log(x + 1)) [x + 1 = e^{t}] ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Si provino le formule: ∫ log^{n} x = x log^{n} x − n ∫ log^{n−1} +c, ∫ x^{n}e^{x} = x^{n}e^{x} − n ∫ x^{n−1}e^{x}, ∫ x sin x = −x^{n} cos x + n ∫ x^{n−1} cos x, ∫ x^{a} log^{n} x = \frac{x^{a+1} log^{n} x}{a+1} − \frac{n}{a+1} ∫ x^{a} log^{n−1} x ————————————————————————————————————————– RICETTE Se R(x, y), R(x, y, z) sono rapporto di due polinomi le primitive di una funzione del tipo R(cos x, sin x) si trovano con la sostituzione t = tan \frac{x}{2}, di una del tipo R(x, \sqrt{1 − x^{2}}) con t = \sqrt{\frac{1−x}{1+x}} o x = sin t, di una R(x, \sqrt{1 + x^{2}}) con t = x + \sqrt{1 + x^{2}}, di R(x, \sqrt{x^{2} − 1}) con

t = \sqrt{\frac{x−1}{1+x}}, di R (x, (\frac{ax+b}{cx+d})^{\frac{n}{m}} ) con t^{m} = \frac{ax+b}{cx+d}, di R(x, \sqrt{ax + b}, \sqrt{cx + d}) con t = \sqrt{ax + b}.

Inoltre di molte funzioni non si possono calcolare le primitive. Esempi: \frac{1}{\sqrt{a_{0}+...a_{n}x^{n}}}, \frac{e^{x}}{x}, e^{±x^{2}}, \frac{sin x}{x}, \frac{1}{\sqrt{1−k^{2} sin^{2} x}}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 Si calcolino i seguenti integrali:

∫_{1}^{e^{3}} \frac{dx}{x\sqrt{1 + log x}}, ∫ \frac{2}{π} ; \frac{1}{π} \frac{sin \frac{1}{x}}{x^{2}} dx, ∫_{0}^{√\overline{7}} \frac{x^{3}dx}{\sqrt[3]{1 + x^{2}}} , ∫_{0}^{1} arsin^{4}xdx, ∫_{0}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}dx

. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Stabilre se i seguenti integrali impropri sono convergenti:

∫_{0}^{∞} \frac{x^{α−1}}{1 + x}dx , ∫_{0}^{∞} \frac{(2 + cos x) log x}{x^{α}}dx (al variare del parametro α ∈ R) ,

∫_{1}^{∞} \frac{e^{x} arctan x}{((2x)^{x} − 1)^{2}} dx , ∫_{0}^{∞} (1 − \sqrt{\frac{t}{t + 1}}) dt , ∫_{1}^{∞} \frac{e^{−x^{2}}x^{x} − e^{x−2}}{1 − x^{x}} dx ,

∫_{1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{x^{3} − x^{2}}} dx , ∫_{0}^{π} \frac{1}{log(cos x^{2})^{\frac{1}{3}}} dx , ∫_{1}^{∞} ((x^{8} − 1)^{− \frac{1}{9}} − x^{− \frac{8}{9}} ) dx.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5

Si studi l’integrabilità, e quindi la convergenza degli integrali, al variare dei parametri

reali α e β delle funzioni: \frac{1}{x^{α}| log |x||^{β}}, su ognuno dei domini ]0; \frac{1}{2}], [\frac{1}{2}; 1[, ]1; \frac{3}{2}], [\frac{3}{2}; +∞[. ————————————————————————————————————————— ESERCIZIO n. 6 Si studi l’integrabilità, e quindi la convergenza degli integrali, delle seguenti funzioni sui rispettivi domini:

\frac{\sqrt{1 − cos x}}{x log(1 + \sqrt{x})} , x ∈]0; 1[ ; \frac{1 − (cos x)^{\frac{1}{4}} + log(1 + x^{\frac{1}{2}} )}{(sin x + 1 − e^{\frac{x}{2}} )^{\frac{1}{2}}} , x ∈]0; 1] ;

\frac{arctan x}{((2x)^{x} − 1)^{2}} , 0 < x < \frac{1}{2} ; \frac{1}{sin \frac{1}{x}} − \frac{1}{log(x + 1) − log x} , x > 1 ;

\frac{1}{\frac{π}{2} − arsinx} , x ∈]0; 1[ ; \frac{1}{1 − | cos(x^{α})|} , x ∈]0; π[ (al variare del parametro α ∈ R) . ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7

a) Si provi mediante integrazione per parti e confronto che \frac{sin x}{x} ha integrale in senso generalizzato su ]0; +∞[ finito.

b) Si provi che se x ↦ g(x) è una funzione defimita su [0; +∞[, decrescente ed infinitesima per x → +∞, e quindi non negativa, allora la funzione g(x) sin x ha integrale in senso generalizzato su [0; +∞] finito.

c) Che dire sull’integrale generalizzato di |g(x) sin x|? ————————————————————————————————————————- ESERCIZIO n.8 Si studi l’integrabilità in senso generalizzato, ed eventualmente la convergenza degli integrali, su ]0; +∞[ delle funzioni sin(x^{2}), (sin π (x + \frac{1}{x}))^{2} e sin π (x + \frac{1}{x}). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 Studiare il dominio e il comportamento asintotico agli estremi dello stesso delle seguenti funzioni x ↦ f(x):

∫_{2x−3}^{x+5} \frac{te^{t−1}}{2t − 7}dt ; ∫_{0}^{x^{2}} \frac{sin t}{\sqrt{1 − t^{2}}} dt ; ∫_{0}^{tan x} \frac{cos t}{1 + t^{2}} dt .

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 Posto F (x) = ∫_{0}^{x} f(t) dt, si studi il limite del rapporto \frac{F (x)}{f(x)}, x → +∞,

nei seguenti casi:

f(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} , f(x) = e^{x} , f(x) = xe^{x^{2}} , f(x) = log x .

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Si consideri Γ(α) = ∫_{0}^{+∞} e^{−x}x^{α−1}dx, α > 0. Si provi che è ben definito e quindi che Γ(n) = (n − 1)! per n ∈ N.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 Dati gli integrali \frac{1}{3}T (κ) = ∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 − t^{2}} · \sqrt{1 − κ^{2}t^{2}}} dt κ ∈ [0; 1[.

a) Si calcoli T (0) e si provi che per ogni κ ∈ [0; 1[ tali integrali sono finiti.

b) Si studi al variare di α ∈ R il comportamento di (T (κ) − T (0)) · κ^{−α} per κ → 0. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO 13 Si calcolino l’area superficiale laterale ed il volume del solido delimitato dalle seguenti figure di rotazione attorno all’asse specificato: grafico di z = \sqrt{1 + x^{2}} 0 ≤ x ≤ 1, x = y = 0; grafico di z = \sqrt{1 + x^{2}} 0 ≤ x ≤ 1, z = y = 0; (x − 1)^{2} + y^{2} = 4 x = y = 0; (x − 1)^{2} + y^{2} = 4 z = y = 0; ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO 14 -Si calcoli l’area del dominio “cartesiano” identificato dalle seguenti condizioni sulle coordinate polari 1 ≤ ρθ ≤ 2, π/4 ≤ θ.

- Si calcoli il volume della regione specificata dalle seguenti condizioni x^{2} + y^{2} ≤ z^{2} + 1 ≤ 2. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO 15 Calcolare gli integrali delle seguenti funzioni sui domini specificati: \sqrt{x^{2} + y^{2}} cerchio di centro l’origine e raggio unitario; (sin y)x sin y^{2}x^{2} triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (1, 2); x + y + z cono di centro (0, 0, 1) e base x^{2} + y^{2} = 1, z = 0; z^{3} + xyz , z^{2} ≤ x^{2} + y^{2} ≤ z; \frac{z}{x^{2}+y^{2}} , 1 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 1; ye^{x}, 0 ≤ y ≤ e^{−x} 0 ≤ x; x + 2y regione compresa tra il segmento y = 0, 0 ≤ x ≤ 2π e l’immagine della curva (t − sin t, 1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π; ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO 16 Si dica se le seguenti funzioni hanno integrale finito nei domini rispettivamente specificati al variare degli eventuali parametri: \frac{1}{x^{4}+y^{4}} , y^{2} ≤ x^{4} ≤ 5; (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}, x^{2} + y^{2} ≤ z^{4}; \frac{x^{2}y^{α}}{1−cos x+ \frac{y^{2}}{2}} , quadrato di vertici (0, 0) (1, 0) (1, 1) (0, 1), α ∈ R; \frac{1}{((x−1)^{2}+y^{2})^{2α}}

cerchio di raggio 5 e centro (0, 0), α > 0; \frac{1}{(|x|^{α}+|y|^{α}+|z|^{α})^{\frac{1}{α}}} max \{|x|, |y|, |z|\} ≤ 1, α > 0 ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO 17 Considerando la funzione f(x, y, z) = x^{2}y^{2} + z^{2}y^{2} + x^{2}z^{2}, omogenea di grado 4 per cui (x, y, z) · ∇f(x, y, z) = 4f(x, y, z), si calcoli il suo integrale sulla superficie x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO 18 - Si calcoli l’area della superficie ottenuta tracciando i segmenti congiungenti l’origine (0, 0, 0) con i punti della curva (t cos t, t sin t, t), 0 ≤ t ≤ 1.

- Si calcoli l’area della superficie di R^{4} definita da x^{2} + y^{2} = 1, z^{2} + w^{2} = 1.

- Si scriva l’elemento d’area della superficie definita implicitamente da e^{x+y+z} = 1 + x.

- Si calcoli ∫_{0<z=xy, x^{2}+y^{2}≤R^{2}} \frac{z}{x^{2} + y^{2}} dV ol_{2} .

- Si integri yz^{2} sulla regione bidimensionale definita da x^{2} + z^{2} = a^{2}, 0 ≤ y ≤ b. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO 19 - La funzione \frac{1}{x^{4}+y^{4}+z} ha integrale fnito su x^{3} + y^{3} + 1 = z, x ≥ 0, y ≥ 0?

- Si dica se l’integrale della funzione log(x^{2} + y^{2} + z^{2}) è finito su z = log(x^{2} + y^{2}) ≤ 0.

- Si dica se l’area della superficie ottenuta ruotando attorno all’asse della x il luogo di zeri e^{z} − e^{−x^{2}} = 1 è finita o meno.

- Dire se la funzione (x, y, z, w) ↦ x^{2}y^{2}zw ha integrale finito sulla superficie definita implicitamente con le condizioni (x^{2} + y^{2})(z^{2} + w^{2}) = 1, x^{2} + y^{2} ≤ 1, z, w ≥ 0.

- Si calcoli l’integrale in senso generalizzato della funzione e^{−(x^{2}+y^{2}+z^{2})} su x^{2} − y^{2} + z^{2} = 0.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO 20 Quale delle seguenti due funzioni:

f(x) = ∫_{0}^{1} x^{y^{2}} \frac{sin y}{y} dy , g(x) = ∫_{1}^{+∞} x^{y^{2}} \frac{sin y}{y} dy , x ≥ 0

ha derivata finita per x = 0? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO 21 Si calcolino i limiti lim_{y→+∞} y ∫_{R} e^{−x^{2}} cos xydx, lim_{y→+∞} ∫_{R} \frac{dx}{1 + \frac{1}{y} + (x − y)^{2}}

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO 22 - In quale sottoinsieme A di R^{2} è definita g(x, y) = ∫_{x}^{y} \frac{1}{z(2 + cos z)}dz ?

- Posto f(x, y) = (x + y)g(x, y) se (x, y) ∈ A se ne studi la continuità e l’esistenza delle derivate direzionali in (0, 0). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO 23 - Per y > 0 si consideri f(x, y) = \frac{1}{y} ∫_{0}^{y} e^{−(x−s)^{2}} si provi che lim_{y→+∞} sup_{x∈R} f(x, y) = 0

- Si calcoli anche lim_{y→+∞} ∫_{R} f(x, y)