MATEMATICA Anno Accademico 2005-2006 Scienze Geologiche M.Novaga, V.M. Tortorelli

I prova finale, 2 febbraio 2006

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I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione

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1 - Si trovi la direzione normale all’insieme definito da z = x^{2} + y^{2} nel punto (1, 1, 2).

R.:

2- Si determino i punti di “sella” del grafico della funzione

f(x, y) = x^{4} + y^{4} + 2x^{2}y^{2} + 2x^{3} + x^{2} + y^{2}.

R.:

3- Si calcoli l’area della superficie definita da x^{2} − y^{2} = z, x^{2} + y^{2} ≤ 1.

R.:

4- Si trovino le soluzioni del sistema differenziale ai dati iniziali \{ \begin{matrix}y′′(t) − 2y′(t) + y(t) = e^{t} \\ y(0) = 0 \\ y′(0) = 0 \end{matrix}

R.:

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II PARTE: si risponda alla seguenti domande dando esaurienti giustificazioni ————————————————————————————————————————–

a) Si scriva S : R^{2} ↦ R^{3} l’inversa della proiezione stereografica dal “polo nord” sul piano tangente al “polo sud” per una sfera di centro l’origine e raggio unitario.

b) Si verifichi direttamente che la matrice Jacobiana di S in ogni punto ha colonne ortogonali e di egual modulo, e quindi conserva gli angoli tra curve.

c) Si calcoli la lunghezza della curva sulla sfera che ha come proiezione stereografica il segmento di estremi (1, 0) e (1, \sqrt{5}).