MATEMATICA Anno Accademico 2005-2006 Scienze Geologiche M.Novaga, V.M. Tortorelli

III prova finale, 12 giugno 2006

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I PARTE: si dia la risposta alle seguenti domande senza giustificazione

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1 - Si trovi la minima distanza dei punti dell’insieme piano definito da x^{2} +2y^{2} = 1 dal punto (1, 1).

R.:

2- Si trovi il coseno dell’angolo di incidenza tra l’insieme definito da z^{2} = 1 + x^{2} − y^{2} e il piano definito da x + 2y + 3z = 0 in (1, 1, −1).

R.:

3- Si calcoli l’area della superficie nello spazio definita da z = x^{2} − y^{2} e x^{2} + y^{2} ≤ 1.

R.:

4- Si trovino tutte le soluzioni dell’equazione differenziale y′′(t) − 2y′(t) + y(t) = 1

R.:

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II PARTE: si risponda alla seguenti domande dando esaurienti giustificazioni a) Si consideri T la parametrizzazione in coordinate polari della sfera unitaria di centro l’origine. Sia M la matrice Jacobiana si esprima in termini delle coordinate (a, b), (α, β) il prodotto scalare tra i due vettori di R^{3} M\binom{a}{b} e M\binom{α}{β}.

b) Si consideri N la matrcie Jacobiana della composizione tra la parametrizzazione in coordinate polari e la proiezione stereografica dal “polo nord” sul piano tangente al “polo sud” per una sfera di centro l’origine e raggio unitario. Si esprima come sopra il prodotto scalare tra i due vettori di R^{2} N\binom{a}{b} e N\binom{α}{β}. Si deduca che la proiezione stereografica mantiene gli angoli tra le tangenti a curve incidenti.

c) Si provi che la proiezione steregrafica conserva il rapporto tra area e perimetro al quadrato tra i triangoli del piano di proiezione e le rispettive preimmagini. ————————————————————————————————————————–