Matematica, Anno Accademico 2006-2007, Scienze Geologiche M. Novaga, V.M. Tortorelli

I esercizi in classe 3/5 ottobre 2006

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Al variare di x tra i numeri razionali l’espressione 9x^{4}−6x^{2}+2 può assumere solo uno tra i valori sottoelencati. Quale?

\sqrt{2}, 122, \frac{1}{2}, −1, 121 ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Le soluzioni di a\frac{a^{4}−1}{a+1} ≤ 0 sono?

tutti i numeri, i numeri tra 0 ed 1, i numeri non negativi minori di 1, i numeri positivi, i numeri maggiori di 1. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 Qual’è la soluzione della diseguaglianza |x^{2} − 1| < ||x| − 1| ?

i numeri negativi, i numeri non positivi, non ha soluzioni, i numeri tra −1 e 0. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Quali tra le seguenti successioni sono convergenti ad un numero reale: A) a_{n} = 1 + 2 + … n, B) a_{n} = 1 − (−1)^{n}, C) a_{n} = \frac{1+n}{1+2n+n^{2}} , D) a_{n} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{27} … \frac{1}{n^{n}} ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Si scriva usando i simboli ∃, ∀, ≤ … la negazione della definzione di successione di Cauchy.

————————————————————————————————————————– ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Giustificando i principali passaggi si determinino il più piccolo, e il più grande, tra i numeri maggiori, rispettivamente minori, di tutti i numeri del tipo

\frac{n^{2} − m^{2}}{m^{2} + n^{2}} , m, n ∈ N, n ≥ m ≥ 1

I numeri trovati appartengono all’insieme descritto?