Matematica, Anno Accademico 2006-2007, Scienze Geologiche M. Novaga, V.M. Tortorelli III esercizi in classe 17/20 ottobre 2006

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Quali tra le seguenti trasformazioni di coordinate sono lineari

• (x, y) ↦ (x^{2}, x + y) • (x, y) ↦ (x + y, x − y)

• (x, y) ↦ (x + y, x − y − 1) • (x, y) ↦ (y, x) ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Quali tra i seguenti insiemi di vettori sono linearmente indipendenti?

• {(1, 9), (0, 0)} • {(1, 1), (2, 1), (3, 1)} • {(1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1)}

• {(1, s), (s, 1), s ∈ ℝ} • {(1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1), (3, 2, 2, 2)}

• {(1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 1), (4, 1, 1, 1)} ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 Quale tra le seguenti espressioni descrive un semipiano

• (s + 1, s), s ∈ ℝ • (s + 1, s), s ≥ 0

• (s + 1, t), s ∈ ℝ, t ≥ 0 • (s + 1, t), s ∈ ℝ, t ∈ ℝ ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Si dica se le rette nello spazio cartesiano date rispettivamente dai valori (1 + t, 2 + 2t, 3 + 3t) t ∈ ℝ e (2 + s, 2 + 2s, 2 + 3s) t ∈ ℝ :

• coincidono • si incontrano in un solo punto

• non si incontrano ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 L’insieme dei valori (s + t, s − t, s + 1), s, t ∈ [0; 1] descrive

• un piano passante per l’origine • un piano non passante per l’origine

• un parallelogramma • un triangolo • un parallelepipedo ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Calcolare, giustificando i passaggi, la matrice associata alla trasformazione lineare (x, y) ↦ (−y, x):

- rispetto alla base canonica ((1, 0), (0, 1))

- rispetto alla base data dai vettori ((1, 1), (1, 2))