Matematica, Anno Accademico 2006-2007, Scienze Geologiche M. Novaga, V.M. Tortorelli

III prova in itinere A 31 ottobre 2006

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 L’angolo di incidenza tra le normali ai piani x + y + z = 3 e (1 + a + b, 1 − a − b, 1 + a − b), a, b ∈ R ha coseno eguale a:

\sqrt{\frac{1}{3}},  \sqrt{\frac{2}{3}},  \frac{2}{3},  \frac{\sqrt{3}}{2} ,  \frac{1}{2}

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ESERCIZIO n. 2 Le soluzioni del sistema \{ \begin{matrix}x + y + z + w = 2 \\ 2x + 2y + z + w = 3 \\ −x − y + z + w = 0 \end{matrix} formano

un punto, un piano, una retta, uno spazio tridimensionale, non vi sono soluzioni ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 L’area del parallelogramma nello spazio di vertici (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 2, 4), (2, 4, 7) è

\sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{3}, \sqrt{10}, \sqrt{11} ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Quale tra le seguenti matrici rappresenta una rotazione attorno ad un asse passante per l’origine:

( \begin{matrix}0 0 1 \\ 1 −1 0 \\ 1 1 0 \end{matrix} ), \frac{1}{\sqrt{3}} ( \begin{matrix}−1 \sqrt{2} 0 \\ 1 \frac{1}{\sqrt{2}} −\sqrt{\frac{3}{2}} \\ 1 \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{3}{2}} \end{matrix} ), \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1−1 0 \\ 0 0 \sqrt{2} \\ 1 1 0 \end{matrix} ), \frac{1}{\sqrt{3}} ( \begin{matrix}−1 \sqrt{2} 0 \\ 1 \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{3}{2}} \\ 1 \frac{1}{\sqrt{2}} −\sqrt{\frac{3}{2}} \end{matrix} )

————————————————————————————————————————– ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Giustificando i principali passaggi ed utilizzando le matrici associate, si mostri che la trasformazione del piano in se ottenuta eseguendo cosnecutivamente due riflessioni, rispetto a rette passanti per l’origine, è una rotazione attorno all’origine