Matematica, Anno Accademico 2006-2007, Scienze Geologiche M. Novaga, V.M. Tortorelli

IV prova in itinere B novembre 2006

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Quali delle seguenti funzioni sono iniettive t ↦ t^{9} + 2t − 2 sin t, (x, y, z) ↦ (x + y − z, x − y + z, −x + y + z), N ∋ n ↦ sin n t ↦ (t^{3}, sin^{2} t), t ↦ (t − sin t)t ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Quali delle seguenti funzioni sono surgettive nei codomini specificati t ↦ t^{5} + 2t − cos t, su R, t ↦ log(1 + cos^{2} t), su[−100, 1], t ↦ (sin t, cos 2t), su R^{2}, (x, y, z) ↦ (x^{3} + y^{3} − z^{3}, x − y^{5} + z^{7}), su R^{2}, (N^{2} ∋ (n, m) ↦ (n^{2} + m^{2}, nm), su N^{2}) N^{2} ∋ (n, m) ↦ (n + m, nm), su N^{2} ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 L’angolo di incidenza tra le tangenti all’immagine dei cammini (sin t, cos t, t) e (t^{4}, 1 + t, t^{2}) nel punto (0, 1, 0) ha coseno eguale a:

\frac{1}{2},  \sqrt{\frac{1}{2}},  0,  \frac{\sqrt{3}}{2} ,

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Quali tra le seguenti funzioni assumono valore massimo sui domini rispettivamente specificati

\frac{sin log(1+e^{x})}{1+cos x}, x^{2} ≤ 1, \frac{1−cos x}{x}, x ≠ 0, \frac{xyz}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} , (x, y, z) ∈ R^{3} \\{(0, 0, 0)\}; \frac{2e^{x}−1}{\sqrt{1+3e^{2x}}} , x ∈ R; ————————————————————————————————————————– ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Giustificando i principali passaggi si studi la derivabilità della funzione:

f(x) = arsin\frac{1}{1+x^{2}} , x ∈ R

. mostrando che per x ≠ 0 f′(x) = −2\frac{x}{|x|} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}(1+x^{2})} Se ne tracci quindi un grafico approssimativo.