Matematica, Anno Accademico 2006-2007, Scienze Geologiche M.Novaga, V.M. Tortorelli SOLUZIONE VI prova in itinere A, 9 gennaio 2007

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO Giustificando la risposta si determinino i punti (x, y) tra quelli che soddisfano la condizione (x^{2} + y^{2})^{2} − 2(x^{2} − y^{2}) ≤ 0 che sono di massima o minima distanza (0, 1). 1- Il problema equivale, elevando al quadrato la funzione distanza da (0, 1), a trovare i punti di massimo e minimo di f(x, y) = x^{2} + (y − 1)^{2} per g(x, y) = (x^{2} + y^{2})^{2} − 2(x^{2} − y^{2}) ≤ 0 2- Poichè g(x, y) è continua l’insieme g(x, y) ≤ 0 è chiuso essendo preimmagine ] − ∞, 0].

Poichè g(x, y) ≤ 0 equivale a (x^{2} + y^{2})^{2} ≤ 2(x^{2} − y^{2}) si ha (x^{2} + y^{2})^{2} ≤ 2(x^{2} + y^{2}) quindi l’insieme g(x, y) ≤ 0 è limitato essendo contenuto nella palla di centro l’origine e raggio \sqrt{2}.

Essendo f(x, y) continua per il teorema di Bolzano-Weierstrass ha punti sull’insieme in questione dove assume il valore massimo e punti ove assume il valore minimo. 3- Essendo f e g differenziabili con continuità i punti si possono ricercare confrontando i valori di f sulle soluzioni dei seguenti sistemi

a−\{ \begin{matrix}\frac{∂f}{∂x}(x, y) = 2x = 0 \\ \frac{∂f}{∂y} (x, y) = 2(y − 1) = 0 \\ g(x, y) = (x^{2} + y^{2})^{2} − 2(x^{2} − y^{2}) < 0 \end{matrix} , b−\{ \begin{matrix}g(x, y) = (x^{2} + y^{2})^{2} − 2(x^{2} − y^{2}) = 0 \\ \frac{∂g}{∂x}(x, y) = 4x(x^{2} + y^{2}) − 4x = 0 \\ \frac{∂g}{∂y}(x, y) = 4y(x^{2} + y^{2}) + 4y = 0 \end{matrix}

\{ \begin{matrix}\frac{∂f}{∂x}(x, y) = λ\frac{∂g}{∂x}(x, y) \\ \frac{∂f}{∂y} (x, y) = λ\frac{∂g}{∂y}(x, y) \\ g(x, y) = (x^{2} + y^{2})^{2} − 2(x^{2} − y^{2}) = 0 \\ (\frac{∂g}{∂x}, \frac{∂g}{∂y} ) ≠ (0, 0) \end{matrix} cioè c − \{ \begin{matrix}2x = 4λx(x^{2} + y^{2}) − 4λx \\ 2(y − 1) = 4λy(x^{2} + y^{2}) + 4λy \\ (x^{2} + y^{2})^{2} − 2(x^{2} − y^{2}) = 0 \\ (\frac{∂g}{∂x}, \frac{∂g}{∂y} ) ≠ (0, 0) \end{matrix}

3-a non ha soluzioni: g(0, 1) ≠ 0. 3-b dall’ultima equazione si deve avere y = 0. Quindi la prima equazione diventa x^{4}−2x^{2} = 0 e la seconda x^{3} − x = 0. Se x ≠ 0 si avrebbe x^{2} = 2 dalla prima e x^{2} = 1 dalla seconda. Quindi l’unica soluzione è (x, y) = (0, 0).

3-c il sistema dei moltiplicatori di Lagrange equivale a \{ \begin{matrix}2x = 4λx(x^{2} + y^{2}) − 4λx \\ 2(y − 1) = 4λy(x^{2} + y^{2}) + 4λy \\ (x^{2} + y^{2})^{2} − 2(x^{2} − y^{2}) = 0 \\ x^{2} + y^{2} ≠ 0 \end{matrix}

Se x = 0 dalla terza si ricava che y = 0 non permesso dalla quarta. Se y = 0 dalla seconda si ricava −2 = 0. Quindi deve essere sia x ≠ 0 sia y ≠ 0 per cui: dividendo per 2x la prima si ottiene 1 = 2λ(x^{2} + y^{2}) − 2λ, quindi anche λ ≠ 0: si ricava (∗)x^{2} + y^{2} = \frac{2λ+1}{2λ} = 1 + \frac{1}{2λ} che sostituito nella seconda da 2(y − 1) = 4λy \frac{2λ+1}{2λ} + 4λy, dividendo per 2 e semplificando il denominatore si ottiene y − 1 = y(2λ + 1) + 2λy cioè 4λy = −1 ovvero (†) y = −\frac{1}{4λ} Sostituendo in (∗) si ha (‡) x^{2} = 1 + \frac{1}{2λ} − y^{2} = 1 + \frac{1}{2λ} − \frac{1}{16λ^{2}} e (∗∗)x^{2} − y^{2} = 1 + \frac{1}{2λ} − \frac{1}{8λ^{2}} Sostituendo (∗) e (∗∗) nella terza si ha un’equazione in \frac{1}{λ}

(1 + \frac{1}{2λ})^{2} − 2 (1 + \frac{1}{2λ} − \frac{1}{8λ^{2}} ) = \frac{1}{2λ^{2}} − 1 = 0 cioè λ = \frac{1}{\sqrt{2}} e λ = −\frac{1}{\sqrt{2}} 4- Si conclude con il confronto:

- (0, 0) non può essere di massimo poichè f(1, 0) = 2 > 1 = f(0, 0) e g(1, 0) = −1 < 0 - quindi i punti di massimo sono relativi al moltiplicatore λ = \frac{1}{\sqrt{2}} positivo per cui

sia f che g crescono nella stessa direzione. Quindi usando † e ‡ i punti (\sqrt{\frac{7}{8} + \frac{1}{\sqrt{2}}}, −\frac{\sqrt{2}}{4})

(−\sqrt{\frac{7}{8} + \frac{1}{\sqrt{2}}}, −\frac{\sqrt{2}}{4}) sono i punti di massimo cercati poiche’ f ha lo stesso valore su di essi.

- per λ = −\frac{1}{\sqrt{2}} negativo si hanno i punti A = (\sqrt{\frac{7}{8} − \frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\sqrt{2}}{4}) B = (−\sqrt{\frac{7}{8} − \frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\sqrt{2}}{4}). Ma f(A) = f(B) = 2 − \sqrt{2} < 1 = f(0, 0). Quindi questi A e B sono i punti di minimo.