Matematica, Anno Accademico 2006-2007, Scienze Geologiche EQUAZIONI DIFFERENZIALI: M.Novaga, V.M. Tortorelli Fuori programma

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Equazioni di base

“Quadratura” semplice Se f : A → R è continua su A segmento in R, per il teorema fondamentale del

calcolo la t ↦ y_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} f(s)ds è l’unica soluzione del problema di Cauchy \{ \begin{matrix}y′(t) = f(t), & t ∈ A \\ y(t_{0}) = y_{0} \end{matrix}

Variabili separabili Se f : A → R, g : B → R sono funzioni continue su A e su B, segmenti in R, si tratta

di trovare le y ∈ C^{1}(I), I segmento incluso in A, per cui y′(t) = f(t)g(y(t)), t ∈ I

- Se per \overline{y} ∈ B si ha g(\overline{y}) = 0 allora la funzione costante y(t) = \overline{y}, t ∈ A è soluzione.

Procedimento euristico i- si cercano le soluzioni che non si annullano: dall’equazione deve essere \frac{y′(t)}{g(y(t))} = f(t) ii- si considera Γ primitiva di \frac{1}{g} su J ⊂ B iii- si considera F primitiva di f iv- si scelgono I ⊂ A e c ∈ R in modo che c + F (I) ⊂ Γ(J) l’eventuale soluzione deve verificare l’equazione Γ(y(t)) = F (t) + c, t ∈ I Il procedimento inverso Considerando quindi i- un generico ]α, β[= J ⊂ B in modo che g si annulli solo agli estremi diJ, ii-una generica Γ primitiva di \frac{1}{g} su J (essendo g continua non cambia segno e Γ sarà invertibile su J) iii-una generica primitiva F di f su A iv- e determinando di conseguenza I e c t.c. c + F (I) ⊆ Γ(J), l’intervallo di estremi Γ(α) e Γ(β), si trova che

y(t) = Γ^{−1}(F (t) + c), t ∈ I

è una soluzione e inoltre α < y(t) < β, t ∈ I. \underline{Problema di Cauchy 1}: Quindi se g(y_{0}) ≠ 0 per determinare una soluzione locale al problema di Cauchy

\{ \begin{matrix}y′(t) = f(t)g(y(t)), & t ∈ I \\ y(t_{0}) = y_{0} \end{matrix}

- si prende J in modo che y_{0} ∈ J e g non si annulli se non agli estremi di J, Γ(p) = ∫_{y_{0}}^{p} \frac{du}{g(u)}, p ∈ J

- F (t) = ∫_{t_{0}}^{t} f(s)ds, I per cui t_{0} ∈ I e F (I) ⊂ Γ(J)

La funzione y(t) = Γ^{−1}(F (t) + c) è ben definita ed è soluzione, e tale y è a valori in J: α < y(t) < β, per t ∈ I. Si ha l’esistenza locale per tale problema e il fatto che la soluzione è unica finchè non annulla g.

\underline{Problema di Cauchy 2}: Se ∫_{α}^{α+ε} \frac{dp}{|g(p)|} = ∫_{β−ε}^{β} \frac{dp}{|g(p)|} = +∞ si ottiene che la soluzione trovata è globale e non può annullare g se non agli estremi di A: infatti se fosse g(y(t_{1})) = 0 si avrebbe y(t_{1}) eguale ad α o a β da cui ∫_{t_{0}}^{t} f(s)ds = ∫_{y_{0}}^{y(t_{1})} \frac{du}{g(u)} = ±∞. Ma f ha integrale finito sugli intervalli limitati e chiusi contenuti in A essendo continua. \underline{Problema di Cauchy 3}: Analogamente se y_{0} è uno zero isolato di g e ∫_{y_{0}−ε}^{y_{0}} \frac{dp}{|g(p)|} = ∫_{y_{0}}^{y_{0}+ε} \frac{dp}{|g(p)|} = +∞ si ha che la funzione costantemente eguale a y_{0} è l’unica soluzione del problema di Cauchy.

Equazioni lineari del primo ordine y′(t) − a(t)y(t) = f(t) con f e a funzioni continue su un intervallo I. Omogenea u′(t) = a(t)u(t): se α′ = a lo spazio vettoriale delle soluzioni è dato da u(t) = ce^{α(t)}. Soluzioni Moltiplicando per e^{−α(t)} ci si riduce alla ricerca di primitive di e^{−α(t)}y(t) e le soluzioni sono date

y(t) = ce^{α(t)} + ∫ ^{t} e^{α(t)−α(s)}f(s)ds = y_{0}e^{∫_{t_{0}}^{t} a(s)ds} + ∫_{t_{0}}^{t} e^{− ∫_{t}^{s} a(x)dx}f(s)ds

si noti che tutte le soluzioni dell’equazione completa si ottengono da una particolare soluzione (il secondo addendo) sommando una soluzione dell’omogenea.

Equazioni del secondo ordine

Notazione dei numeri complessi - Per esporre in maniera più significativa quanto segue conviene introdurre la notazione dei numeri complessi. Con campo dei numeri complessi sintende l’insieme della espressioni a + ib ove a ∈ R , b ∈ R e il parametro i è una costante non reale a cui si impone la regola di calcolo i^{2} = −1. Somma e prodotto di numeri complessi sono quindi quelli dei polinomi nella “variabile” i a coefficienti reali, solo che nei calcoli si usa la regola data per ridursi sempre a polinomi di primo grado. I numeri reali si identificano con i numeri complessi del tipo a + i0. Il campo dei numeri complessi si indica con C e spesso si identifica con R^{2}: a + ib ∼ (a, b).

- Forma trigonometrica Considerando le coordinate polari nel piano ogni numero complesso si scrive nella forma ρ(cos φ + i sin φ). L’angolo φ non è individuato se non a meno di multipli di 2π: e.g. se a > 0, b > 0 allora a + ib = \sqrt{a^{2} + b^{2}}(cos artan\frac{b}{a} + sin artan\frac{b}{a}). Appunto ρ si dirà modulo di un numero complesso, e φ ∈ [0; 2π[ argomento principale.

- Dalle formule di addizione se z = ρ(cos φ+i sin φ), w = r(cos θ+i sin θ) si ha: zw = ρr(cos(φ+θ)+i sin(φ+θ)) Quindi ogni numero complesso z = ρ(cos φ + i sin φ) ha esattamente n radici n^{e} complesse

z_{1} =^{n}\sqrt{ρ}(cos \frac{φ}{n} + i sin \frac{φ}{n}) … z_{n} =^{n}\sqrt{ρ} (cos (\frac{2π(n − 1)}{n} + \frac{φ}{n}) + i sin (\frac{2π(n − 1)}{n} + \frac{φ}{n}))

Le radici n^{e} di 1 sono quindi i vertici di un poligono regolare inscritto nella circonferenza untitaria. Si hanno a disposizione tutti gli srumenti per dare la dimostrazione del seguente teorema (la si omette). Teorema 1 FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA Ogni polinomio a coefficienti complessi a_{0} + a_{1}z + … + a_{n}z^{n} di grado n è prodotto di termini del tipo (z − w)^{k} per a_{n}. I numeri w sono tutte e sole le radici del polinomio, i numeri k sono le rispettive molteplicità e la loro somma è n. Poichè un polinomio a coefficienti reali se ha come radice w = a + ib ha anche come radice a − ib si ha che un polinomio a coefficienti reali si scrive come prodotto di termini del tipo (x − c)^{k}, ((x − a)^{2} + b^{2})^{h} = (x − (a + ib))^{h}(x − (a − ib))^{h}, ove c sono le radici reali e la somma degli k e dei 2h è il grado del polinomio. Forma esponenziale Considerando il modulo di un numero complesso come esponenziale e osservando che il prodotto di nuemri complessi ha come argomento la somma degli argomenti riportata in [0; 2π[ è suggestivo definire e^{α+iβ} = e^{α}(cos β + i sin β) constatando che ha le stesse regoole di calcolo dell’esponenziale.

Teorema 2 Si consideri l’equazione lineare nell’incognita y(t): a(t)y′′(t) + b(t)y′(t) + c(t)y(t) = f(t), con coefficienti e termine noto funzioni continue su un intervallo I con a(t) ≠ 0 . 1- L’insieme delle soluzioni dell’equazione con termine noto nullo (equazionee omogenea associata) è uno spazio vettoriale di dimensione 2 ovvero trovate due soluzoni dell’omogenea linearmente indipendenti u_{1}(t) e u_{2}(t) ogni altra soluzione è del tipo c_{1}u_{1}(t) + c_{2}u_{2}(t) con c_{1}, c_{2} costanti reali. 2- Vi è almeno una soluzione dell’equazione u^{∗}(t). 3- Tutte le altre soluzioni dell’equazione sono del tipo u^{∗}(t) + c_{1}u_{1}(t) + c_{2}u_{2}(t).

Approccio generale per risolvere il problema di Cauchy \{ \begin{matrix}a(t)y′′(t) + b(t)y′(t) + c(t)y(t) = f(t) & t ∈ I \\ y(t_{0}) = y_{0} \\ y′(t_{0}) = y_{1} \end{matrix}

1- si determina una base delle soluzioni dell’omogena (u_{1}(t), u_{2}(t)) 2- si trova una soluzione particolare u^{∗}(t) 3- si cerca c = (c_{1}, c_{2}) ∈ R per cui c_{1}u_{1}(t) + c_{2}u_{2}(t) + u^{∗}(t) verifichi le condizioni iniziali del problema. Passo 1 nel caso di coefficienti costanti Il caso elementare per trovare soluzioni è quallo in cui i coeffcienti sono funzioni costanti. Teorema 3. Si consideri l’equazione lineare omogenea nell’incognita u(t): au′′(t) + bu′(t) + cu(t) = 0, con coefficienti costanti reali. Si ha che tutte e sole le soluzioni sono:

u(t) = \{ \begin{matrix}c_{1}e^{tα} cos βt + c_{2}e^{tα} sin βt & b^{2} − 4ac < 0 \\ c_{1}e^{tα} + c_{2}te^{tα} & b^{2} − 4ac = 0 \\ c_{1}e^{tα_{1}} + c_{2}e^{tα_{2}} & b^{2} − 4ac > 0 \end{matrix}

al variare di c_{1} e c_{2} in R, con α ± iβ, ovvero α_{1}, α_{2}, α radici di ax^{2} + bx + c = 0. Passo 2: principali metodi per la determinazione di una soluzione particolare Per tentativi Coefficienti indeterminati per equazioni a coefficienti costanti Se il termine noto è e^{αt}(p_{1}(t) cos βt + p_{2}(t) sin βt), si cerca una soluzione soluzioni del tipo:

u^{∗}(t) = t^{m}e^{tα}(q_{1}(t) cos βt + q_{2}(t) sin βt)

ove q_{1} e q_{2} sono polinomi con gradi minori del massimo di quelli di p_{1} e p_{2}, ed m molteplicità di α ± iβ, come radici del polinoomio associato all’equazione. \underline{Variazione delle costanti} Se u_{1}(t), u_{2}(t) danno una base dello spazio delle soluzioni dell’omogenea, si cercheranno soluzioni del tipo u^{∗}(t) = c_{1}(t)u_{1}(t) + c_{2}(t)u_{2}(t)

- ci si riduce al sistema numerico (t è fisso) \{ \begin{matrix}u_{1}c′_{1} + u_{2}c′_{2} & = & 0 \\ u′_{1}c′_{1} + u′_{2}c′_{2} & = & \frac{f}{a} \end{matrix} e quindi si trovano le primitive di c′_{1}, c′_{2}.