Matematica, Anno Accademico 2006-2007, Scienze Geologiche M. Novaga, V.M. Tortorelli

I foglio di esercizi 3 ottobre 2006

Programma, registro degli argomenti svolti e materiale relativo al corso possono si reperiscono in rete: http://www.dm.unipi.it/didactics/home.html selezionando il nome del corso.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 (saggio preliminare)

-Si completino le eguaglianze seguenti: 3^{5} = …; 3^{−5} = …; 27^{1/3} = …; 27^{−1/3} = …. -Sapendo che log_{100} x^{3} > 0 quali sono tra le seguenti le affermazioni corrette? x > 1; x =

1; 0 < x < 1; x < 0.

-Sapendo che due elevato alla decima è eguale a milleventiquattro, dire se è vero o falso che due elevato alla ventinovesima è maggiore di dieci elevato alla nona.

- Se (a − b)(a + b) ≠ 0, l’espressione \frac{a^{4}−b^{2}a^{2}}{a^{4}−b^{4}} è equivalente a quale tra le seguenti altre espressioni? 1 − \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}} ; \frac{a^{2}}{b^{2}} ; \frac{a}{a^{2}+b^{2}} ; 0; \frac{1−b^{2}}{1+b^{2}} .

- La disequazione \frac{x^{6}−1}{x−2} < 0 è soddisfatta per quali tra i seguenti valori di x? x < 1; −1 < x < 1; x < −1; x < −1 o 1 < x < 2;.

- Quante colonne diverse che non diano tutte lo stesso risultato si possono giocare al Totocalcio? (Ricordiamo che vi sono tre simboli da disporre in una colonna di tredici elementi) A) 3^{13} − 13; B) 3 · 13^{3} − 3; C) 13^{3} − 3; D) (3^{12} − 1)3.

- Qual è il più grande tra i numeri: −31; −\frac{1}{5}; −\frac{1}{9}; −1?

- Un esame è costituito da una prova scritta e da una prova orale. Il 60% dei candidati ha superato lo scritto e tra questi il 90% ha superato anche l’orale. Determinare la percentuale, sul totale dei candidati, di coloro che hanno superato lo scritto ma non l’orale.

- Una funzione ha come parte del suo grafico un segmento che sale in verticale meno di quanto si sposti orrizontalmente e che incontra l’asse orizzontale di riferimento a sinistra del punto di incontro di questo con l’altro asse di riferimento. Quale delle seguenti funzioni può avere grafico corrispondente alla descrizione data? y = \frac{1}{2}x^{2}+x; y = \frac{1}{2}x; y = x^{3}; y = \frac{1}{2}x+2.

- L’area del parallelogramma di vertici A = (1, 2), B = (3, 4), C = (4, 3), D = (6, 5) è: 4\sqrt{2}; 6; \frac{1}{2}; 4?

- Dire se è possibile costruire un triangolo con i lati lunghi rispettivamente: 3, 3, \frac{5}{9}.

- Un angolo misura 50^{∘}. Quale, tra le seguenti, è la sua misura in radianti? \frac{1}{9}π; \frac{5}{18}π; \frac{2}{9}; \frac{9}{2}π.

- Quale delle seguenti affermazioni è corretta? sin 2 = 0; sin 2 = \frac{1}{2}; sin 2 = \frac{π}{2}; sin 2 non ha senso ; sin 2 = 2 cos 1 sin 1 .

- Si consideri la curva determinata dall’ equazione y = −3x^{2} + x + 3. Dire quali di questi punti giacciono su tale curva: (1, −2); (−3, −1); (−1, 3); (1, 1).

- La pendenza della retta passante per i punti (2, 5) e (1, 3) è: -2; −\frac{4}{3}; \frac{1}{2}; 2?

- I primi 1000 Km di un viaggio in treno vengono fatti pagare di più . Quale delle seguenti formule permette di calcolare il costo del biglietto per viaggi superiori a 1000 Km, indicando con x la lunghezza del viaggio? 700 + 0.05 · (x − 1000); 0.7 · x + 0.05 · x; 0.7 · (x − 1000) + 0.05 · x.

- Si verifichino le seguenti identità:

(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy, x^{2} − y^{2} = (x − y)(x + y),

x^{3} − y^{3} = (x − y)(x^{2} + xy + y^{2}), x^{3} + y^{3} = (x + y)(x^{2} − xy + y^{2})

\frac{x}{x−2} = 1 + \frac{2}{x−2}, \frac{x^{3}−8}{x^{2}−1} = x + \frac{x−8}{x^{2}−1} ————————————————————————————————————————– DEFINIZIONE: dato y ∈ R e n ∈ N si dice che x ∈ R è la sua radice aritmetica n^{∘} se:

1) x ≥ 0,

2) x^{n} = y. Si scrive x = ^{n}\sqrt{y}. TEOREMA: Ogni numero reale non negativo ha un’unica radice n^{∘}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Si provi che :

- un numero reale negativo non ha radice quadrata;

- il numero \sqrt{3} non è razionale (rapporto di numeri interi). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 - Dati a, b, c, con a > 0, si trovino in dipendenza i tre numeri dati altri tre numeri α, β, γ per cui:

ax^{2} + bx + c = (αx + β)^{2} + γ

- Si tovi una formula risolutiva per le soluzioni reali dell’equazione ax^{2} + bx + c = 0, e si dica quando ha senso.

- Si verifichi che se x^{2} + sx + p = 0 allora s è ‘meno la somma delle soluzioni’ e p ‘il prodotto delle soluzioni’. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Si disegnino i sottoinsiemi di R dati da

\{x ∈ R : x^{2} + 3x − 10 > 0\}, \{x ∈ R : \frac{x^{3}+27x}{x−10} > 0\}, \{x ∈ R : \sqrt{3x + 1} − \sqrt{2x + 3} > 0\} ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Si disegnino i sottoinsiemi del piano, identificato con R^{2} (l’insieme delle coppie di numeri reali), rispettivamente definiti da ciascuna delle seguenti condizioni:

(x, y) ∈ R^{2} : x + y + 3 = 0, x^{2} − y^{2} = 0, x^{2} + y^{2} = 0, (x + y)^{2} = 1, (x + y)^{2} = 0, x^{2} + y^{2} = 4, x^{2} = y, x^{2} − y^{2} = 1, 4x^{2} + y^{2} = 1 ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 - Si scriva l’equazione che determina (come luogo di zeri) la retta passante per il punto di coordinate (1, 1)e per il punto (3, 4).

- Si scriva l’equazione che definisce la retta per (1, 1) e con direzione parallela a (1, 2).

- Si scriva l’equazione della retta passante per (1, 1) e che dista 1 dall’origine (0, 0).

- Si trovino l’equazioni delle rette per il punto (1, 1) e che toccano il sottoinsieme del piano definito dalla condizione x^{2} + y^{2} = 1 in un solo punto.

- Si trovi l’equazione che individua la retta che tocca l’insieme definito da y = x^{2} solo nel punto di coordinate (1, 1).

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Si scrivano le rette del precedente esercizio come cammini ‘lineari’ in R^{2} del tipo t ↦ (a, b) + t(c, d) al variare di t in R. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.8 Si denoti con n! il prodotto dei primi n numeri interi. Si provi n! ≤ n^{n}. Si provi anche n^{n} ≤ \frac{(2n)!}{n!}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 - Si provi che la somma dei primi n numeri naturali 1 + 2 + … + n è \frac{n(n+1)}{2} - Si provi 1 + x + … x^{n−1} = \frac{1−x^{n}}{1−x} , e quindi generalizzando l’ultima parte dell’ esercizio 1 si mostri che : x^{n} − y^{n} = (x − y)(x^{n−1} + x^{n−2}y + ... + x^{n−k−1}y^{k} + ... + y^{n−1}).

( Che dire su x^{n} + y^{n}?)

- (1 + x)(1 + x^{2}) … (1 + x^{2^{n}}) = \frac{1−x^{2^{n+1}}}{1−x} ————————————————————————————————————————– - Se n è un numero naturale la sua scrittura in base 10 è r_{0} +r_{1} ·10+r_{2} ·100+…+r_{k} ·10^{k} = n ove 0 ≤ r_{0}, r_{1} … < 10, sono rispettivamente r_{0} il resto della divisione di n per 10, r_{2} il resto della divisone per 10 del quoziente prima ottenuto etc. . -Analogamente si esprimono i numeri naturali in base b, ove b è un altro numero naturale, con i resti delle divisioni per b dei successivi quozienti a partire da n. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.10 - Si scriva 100 in base 2. In base decimale a cosa corrisponde la scrittura 100 in base 2? Si provi che un numero è divisibile per 9 se e solo se la somma delle cifre della sua espresione decimale è anch’essa divisibile per 9. [ 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 etc. . ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 Dato x ∈ R si definisce parte intera di x l’unico numero n intero x−1 < n ≤ x. Se c_{0} = [x], c_{n} = [10^{n}(x−c_{0})−10^{n−1}c_{1} …−10c_{n−1}] allora x = c_{0}+\frac{c_{1}}{10}+\frac{c_{2}}{100}+… = c_{0}, c_{1}c_{2}c_{3} . . .. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 - Si provi che \sqrt{xy} ≤ \frac{x+y}{2}, se x, y ≥ 0 e se ne dia un’interpretazione geometrica.

- Si provi (1 + x)^{n} ≥ 1 + nx se x ≥ 0. Lo si provi anche per x > −1. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 13 Quali dei seguenti insiemi sono limitati?

{x ∈ R : x > 1}, {x ∈ R : 0 > x > 1}, {x ∈ R : 2 > x > 1}, {x ∈ R : x^{2} + 14 = 0} \{x ∈ R : x^{7} + x^{3} = x^{2} \}, \{x ∈ R : 2 > \frac{x−1}{x−2} > 1\}, \{x ∈ R : 2 > \frac{x^{3}−1}{x^{2}−2} > 1\}, \{(x, y) ∈ R^{2} : x^{6}y + xy^{2} = y^{2} \}, \{(x, y, z) ∈ R^{3} : 2 > \frac{x+y+z}{x−y−z} > 1\}, \{(x, y) ∈ R^{2} : 2 > \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} > 1\},

————————————————————————————————————————– DEFINIZONE: - Se A e B sono insiemi l’insieme che ha come elementi esattamente quelli che sono sia elementi di A sia elementi di B è detto intersezione tra i due. Questo insieme si denota con A ∩ B.

- L’insieme i cui elementi sono quelli che sono indifferentemente elementi di A ovvero elementi di B è detto unione dei due. Questo insieme si denota con A ∪ B.

- Se si considera un’iniseme A i cui elementi sono insiemi l’insieme che ha come elementi esattamente quelli che sono elementi comuni a ognuno degli insiemi A ∈ A è detto intersezione di A. Si denota con ⋂_{A}.

- L’insieme che ha come elementi quelli che sono elementi di almeno uno degli insiemi A ∈ A è detto unione di A. Si denota con ⋃_{A}. (- Quindi se A è l’iniseme che ha come elementi solo i due insiemi A e B si ha , ⋃_{A} = A ∪ B.

- A parole si può dire che la condizione di essere elemento di un’intersezione è quella di soddisfare tutte le condizioni una per ciascun insieme della famiglia di cui si sta facendo l’intersezione. Nel caso finito è la condizione ottenuta dalla congiunzione di tali condizioni: sta in qusto e in quello e etc. . La condizione di essere elemento di un’unione è quella di soddisfare almeno una delle condizioni tra quelle che determinano gli insiemi della famiglia di cui si sta facendo l’unione. Nel caso finito è la condizione ottenuta dall’alternativa tra tali condizioni: sta in questo o anche in quello o etc . . ) ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 14 Se due sottoinsiemi A e B del piano sono eguali all’insieme delle coppie (x, y) per cui f(x, y) = 0 e rispettivamente a quello delle coppie per cui g(x, y) = 0 che sottinsieme del piano è individuato da f(x, y) · g(x, y) = 0? E da f(x, y)^{2} + g(x, y)^{2} = 0? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 15 Trovare estremo superiore ed inferiore degli insiemi e dire se sono rispettivamente massimo e minimo:

]0; 1], [1; 4[∩(]0; 2[∪]3; 5]), ⋃_{n∈N} [\frac{1}{n}; 1 − \frac{1}{n}]; ⋂_{n∈N} ]\frac{1}{n}; n[ , ⋃_{m∈N} ⋂_{n∈N} ]\frac{1}{n + m}; m + n[ ,

\{x ∈ R : |x^{2} + 1| < |x − 3| − 1\}, \{x ∈ R : |x^{2}| < |x − \frac{3}{x} | − 1\},

{x ∈ R : |x^{2} − 1| < |x + 3| − 2}, {x ∈ R : : 4 > |1 − x||1 + x| + (1 − x)^{2}} {x ∈ R : x^{2} + |x − 1| < 2} ∩ Q \{x : \frac{x+1}{|x−2|} − 2|x| > 0\}, \{x : log x^{2} ≥ log(2x − 1)\} ∩ Q, \{x : log_{x}(2x − 1) ≥ 2\}

⋂_{y∈R}{x : |x + y| + y ≤ 2}; ⋃_{y∈R}{x : |x + y| + y ≤ 2};

\{z ∈ R : z = \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} : 0 < x, y < 1\}, \{z ∈ R : z = \frac{xy}{x+y} : 0 < x, y < 1\},

\{z ∈ R : z = \frac{nm}{n^{2}+m^{2}} : n, m = 1, 2...\}, \{z ∈ R : z = \frac{nm}{n+m} : n, m = 1, 2...\}, \{z ∈ R : z = \frac{m−2}{3n} : n, m = 1, 2...\}, \{z ∈ R : z = \frac{1}{n} + (2m + 1)\frac{π}{2} : n, m = 1, 2 …\},

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 16 Calcolare estremo superiore, inferiore, e indicare se sono valori massimi o minimi, delle seguenti espressioni al variare degli argomento come rispettivamente specificato: 7n^{3} − n^{4}, n ∈ N; 7n^{6} − n^{8}, n ∈ N; 7x^{6} − x^{8}, x ∈ R; sin \frac{1}{n}, n ∈ N; \sqrt{n} − [\sqrt{n}], n ∈ N;

\frac{x^{6} + x^{4} + 1}{x^{4} + 2x^{2} − 3}, x^{4} + 2x^{2} − 3 ≠ 0; \frac{n^{6} + n^{4} + 1}{n^{4} + 2n^{2} − 3}, n ∈ N n^{4} + 2n^{2} − 3 ≠ 0; (x^{2} + 1)e^{−(x^{2}−1)}, x ∈ R;

\frac{n + 1}{n}, n ∈ N; \frac{2m}{m^{2} + 1}, m ∈ Z; (−n)^{n} + \frac{1}{n}, n ∈ N; n + \frac{1001}{n}, n ∈ N; x^{2} + \frac{1001}{x^{2} + 1}, x ∈ R

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 17 Calcolare estremo superiore, inferiore, e specificare se sono valori massimi o minimi, delle seguenti espressioni:

n cos mπ − \frac{3}{2 + n}, m, n ∈ N; \frac{n^{2} − m^{2}}{m^{2} + n^{2}} , m, n ∈ N; \frac{(x^{2} + y^{2})^{2}}{x^{2}y^{2}} , xy > 0;

\frac{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3}}{x^{2}y^{2}z^{2}} , xyz > 0

∑_{1≤n≤100} |a_{n}| al variare di a_{1}, … a_{100} tra le famiglie per cui sup{|a_{n}|; 1 ≤ n ≤ 100} < 1.

————————————————————————————————————————– NOTAZIONE:

A + B = {x ∈ R : ∃a ∈ A, b ∈ B x = a + b}, λA = {x ∈ R : ∃a ∈ A x = λa}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 18 Provare che: a - se A ⊆ B allora sup A ≤ sup B e inf B ≤ inf A; b - sup A ∪ B = max{sup A, sup B}, inf A ∪ B = min{inf A, inf B}, sup ⋃_{i∈I} A_{i} = sup_{i∈I} sup A_{i};

c - sup A + B = sup A + sup B, sup −A = − inf A, sup γ^{2}A = γ^{2} sup A; d - se f : I → R, g : I → R allora: sup_{x,y∈I} f(x) + g(y) = sup_{x∈I} f(x) + sup_{x∈I} g(x) ≥ sup_{x∈I} f(x) + g(x).

Si provi che la diseguaglianza è necessaria, e si trovi e provi un analogo per l’estremo inferiore; ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 19 - Dati a_{1} ≠ a_{2} trovare il più grande y per cui |x − a_{1}| + |x − a_{2}| ≥ y per ogni x ∈ R (per ogni punto la somma delle distanze dai punti dati sia più grande di y).

*- Si generalizzi se sono dati n punti diversi a_{1}, a_{2}, … a_{n}.

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