Matematica, Anno Accademico 2006-2007, Scienze Geologiche M. Novaga, V.M. Tortorelli

II foglio di esercizi

Programma, registro degli argomenti svolti e materiale relativo al corso possono si reperiscono in rete: http://www.dm.unipi.it/didactics/home.html selezionando il nome del corso.

————————————————————————————————————————– POLINOMI La forma canonica di un polinomio in una variabile a coefficienti reali c_{0}, … c_{n} è un’espressione del tipo c_{0} + c_{1}x + … c_{k}x^{k} … c_{n}x^{n}.Il suo grado è il massimo esponente della variabile con coefficiente non nullo. Considerando un valore reale assegnato alla variabile si definiscono la somma e il prodotto di polinomi. I coefficienti della somma sono la somma dei coefficienti di egual grado dei polinomi addendi, il coefficiente di grado k del prodotto è la somma dei prodotti dei coefficienti di grado h di uno dei polinomi con quello di grado k − h dell’altro. Il grado della somma non è maggiore del massimio del grado degli addendi e il grado del prodotto è la somma dei gradi degli addendi. Due polinomi a coefficienti reali hanno gli stessi coefficienti se e solo se danno gli stessi valori per ogni assegnamento di variabile. Un polinomio p(x) si annulla per x = a se e solo se p(x) = (x − a)q(x). Un plinomio di grado n si annulla quindi in al più n punti diversi. Dati due polinomi A e B con grado di A non minore del grado di B esistono e sono unici due polinomi Qed R per cui A = BQ + R e grado di R minore strettamente del grado di B. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 - Si scriva un poilinomio che non ha radici reali.

- Si scriva un polinomio a coefficienti razionali che ha almeno una radice reale e nessuna radice razionale.

- Si provi che un polinomio con coefficienti interi se ha una radice razionale questa è uno dei rapporti tra i divisori del termine noto e quelli del coefficiente di grado massimo. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Si divida il primo per il secondo polinomio nelle seguenti coppie: (x+1, x^{2}+ 1), (x^{2} + 1, x + 1), (x^{101} + 10, x + 1) ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 Perchè il valore sin x non può essere calcolato da nessun polinomio? ————————————————————————————————————————– PRINCIPIO DI INDUZIONE Partendo dagli assiomi di R ed da quello dell’esistenza di intersezioni infinite si identifica l’insieme dei numeri naturali come segue:

N = ⋂{A ⊆ R : 1 ∈ A, x ∈ A ⇒ x + 1 ∈ A}. a - Si ha che se A ⊆ N, m ∈ A, x ∈ A ⇒ x + 1 ∈ A allora A è l’insieme dei naturali più grandi di m. b- Ciò è equivalente a dire che se un proprietà vale per 1 e “passa al successore” allora vale per tutti i numeri naturali. c- Ciò è anche equivalente a dire che ogni sottoinsieme di N ha minimo. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 - Per quali naturali si ha rispettivamente 2^{n} − 2 ≥ n^{2}, n; 3^{n} ≥ n2^{n}?

- Provare ∑_{k=1}^{n}(2k − 1) = n^{2}; ∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}; ∑_{k=1}^{n} k^{3} = (∑_{k=1}^{n} k)^{2}.

- Provare 1 + 2x + 3x^{2} + … nx^{n−1} = \frac{1−(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1−x)^{2}} ,

- Sia a_{1} ≥ 3 e a_{n+1} = a_{n}^{2} − a_{n}. Provare che per ogni n si ha a_{n} ≥ 2 e quindi che a_{n+1} ≥ a_{n}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.5 - Si consideri la seguente proprietà D_{n}:

comunque siano dati n numeri non negativi si ha \sqrt[n]{x_{1} … x_{n}} ≤ \frac{x_{1}+...x_{n}}{n}.

- Si provi che se vale D_{n} vale D_{2n}.

- Si provi che se vale D_{n+1} vale D_{n}. Si deduca che per ogni n vale D_{n}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 - Si usi la proprietà provata nel precedente esercizio per mostrare che (1 + \frac{x}{n+1})^{n+1} ≥ (1 + \frac{x}{n})^{n} (se n > 1 − x),

(1 + \frac{1}{n})^{n+1} ≥ (1 + \frac{1}{n+1})^{n+2}, ^{n} \sqrt{n} ≥ ^{n+1} \sqrt{n + 1} (se n ≥ 4). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Si provi che se a > 1 e k ∈ N allora a^{n} > n^{k} per tutti gli n abbastanza grandi. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 - Si calcolino i limiti per n → +∞ di \frac{n^{k}}{2^{n}}, \frac{2^{n}}{n!} , \frac{n!}{n^{n}}.

- Si calcoli il limite per n → +∞ di \frac{100n^{4}−2n+1}{−n^{5}−n3+2n^{2}+n}.

- Se p è un polinomio di grado non maggiore di un polinomio q si calcoli il limite per n → +∞ di \frac{p(n)}{q(n)}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 Perchè n! non puøessere calcolato da nessun polinomio valutato sui numeri n ∈ N? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 - In quanti modi si possono colorare con al più due colori n oggetti?

- In quanti modi si può dividere in al più due parti un insieme di n elementi (pari-dispari)?

- Si motivi l’eguaglianza 2^{n} = \binom{n}{0} + … + \binom{n}{n}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.11 - In quanti modi si possono colorare n oggetti con al più tre colori diversi?

- In quanti modi si può suddividere un insieme con n elementi in al più tre parti?

- In quanti modi si possono colorare n oggetti con al più m colori diversi? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.12 - Assegnati m numeri, k_{1}, … k_{m}, la cui somma sia n, esprimere in termini di fattoriali in quanti modi si possono distribuire n oggetti tra m persone in modo che la prima ne abbia k_{1}, la seconda k_{2} etc..

- Si deduca una formula analoga a quella di Newton per (a_{1} + … a_{m})^{n}.

- In quanti modi si può suddividere un insieme di otto elementi in quattro insiemi che abbiano rispettivamente uno tre elemnti, un altro un elemento, e i rimanenti due elementi? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.13 - Identificando i monomi che differiscono solo per l’ordine delle variabili che vi compaiono (e.g. x^{2}y = xyx), quanti sono i monomi con coefficiente 1 di decimo grado in due variabili ? Più in generale quanti sono i monomi con coefficiente 1 di grado n in m variabili? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 14 Calcolare cos \frac{π}{12}, sin \frac{5π}{12} , sin \frac{7π}{8}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 15 Verificare le seguenti relazioni ed interpretarle geometricamente:

cos(x + π) = cos(x − π) = − cos x, sin(x + π) = sin(x − π) = − sin x; cos(x + \frac{π}{2}) = − sin x, sin(x + \frac{π}{2}) = cos x, | sin x| ≤ |x| ≤ | tan x| (se |x| ≤ \frac{π}{2}) | cos x − cos y| ≤ |x − y|, | sin x − sin y| ≤ |x − y|.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 16 Trovare l’intersezione A ⋂ B dove

A = \{x ∈ R : x^{4} + |x − 3| = sin (x\frac{π}{2} )\} e B = \{x ∈ R : |x| ≤ 2\}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 17 Risolvere le seguenti equazioni: 3 sin x−\sqrt{3} cos x = 0, sin x+3| sin x| = 2, − cos^{6} x + sin^{3} x cos^{3} x + sin^{6} x = 0. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 18 Trovare tutti gli x per cui rispettivamente: sin x < \frac{1}{2}, 4 sin x tan x > \frac{3}{cos x}, \frac{1+cos^{2} x}{1+sin x} > 2. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 19 Calcolare l’estremo superiore ed inferiore dell’insieme:

\{sin \frac{n−1}{2n}π : n ∈ N \}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 20 Dire se le seguenti funzioni sono periodiche ed indicarne il periodo: x ↦ sin(π^{2}−πx), x ↦ | sin x|+| cos x|, x ↦ sin(x^{2}), x ↦ 3 sin^{2} x+sin \frac{x}{2}, x ↦ sin^{5} x+3 cos^{7} 2x+1. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 21 - Provare che \frac{1}{2} + cos x = \frac{sin \frac{3}{2} x}{2 sin(x/2)},

- Provare e ricordare che: sin x = \frac{2 tan \frac{x}{2}}{1+tan^{2} \frac{x}{2}} , cos x = \frac{1−tan^{2} \frac{x}{2}}{1+tan^{2} \frac{x}{2}} .