Matematica, Anno Accademico 2006-2007, Scienze Geologiche M. Novaga, V.M. Tortorelli

IV foglio di esercizi

Programma, registro degli argomenti svolti e materiale relativo al corso si reperiscono in rete: http://www.dm.unipi.it/didactics/home.html selezionando il nome del corso.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Quali delle seguenti funzioni sono iniettive: R ∋ x ↦ x^{7} + x^{5} − 123, R ∋ x ↦ (x, cos x, sin x), [0, 2π[∋ x ↦ (sin 2x, cos x), (x, y, z) ↦ (3x + 2y + z − 1, x + 2y + 3z + 1, 3x − 2y − 7z + 3), ————————————————————————————————————————– DEFINIZIONE: Una funzione a valori reali definita su un convesso f si dice convessa se e solo se il suo sopragrafico {(x, y) : y ≥ f(x)} è convesso. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 - Una funzione è convessa se e solo se f((1−t)a+tb) ≤ (1−t)f(a)+tf(b) per ogni numero t ∈ [0; 1] (il grafico sta sotto le corde)se e solo se f((1 − t)a + tb) ≥ (1 − t)f(a) + tf(b) per ogni numero t ∉ [0; 1] (il grafico sta sopra i complementari delle corde).

- Una funzione è convessa se e solo se lo sono le sue restrizioni a rette se solo se lo sono le sue restrizioni a rette parallele agli assi.

- Una funzione di una variabile è convessa se e solo se il rapporto incrementale rispetto ad un qualsiasi punto è una funzione crescente.

- Una funzione f derivabile in ogni punto di un intervallo è convessa se e solo se la sua derivata è crescnte se e solo se f(x) ≥ f(y) + f′(y)(x − y) (il grafico sta sopra le rette tangenti)

- Una funzione derivabile due volte su un intervallo è convessa se e solo se la derivata seconda è non negativa

- Una funzione convessa su un intervallo è continua nei punti non estremi dello stesso. ————————————————————————————————————————

ESERCIZIO n. 3 Si disegnino in modo o approssimativo i grafici delle funzioni: x ↦ |x|, x ↦ x^{2}, x ↦ x^{3} x ↦ x^{5}, x ↦ x^{4}, x ↦ |x|^{7}; x ↦ \sqrt{x}, x ↦ ^{3} \sqrt{x}, x ↦ ^{4} \sqrt{|x|}; x ↦ ^{15} \sqrt{x + 5} − 3, x ↦ −\sqrt{2 − x}, x ↦ ^{3} \sqrt{3x − 3}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 - Traslando il grafico di x ↦ x^{2} con uno spostamento di (4, 0) di quale funzione si ottiene il grafico?

- Traslando il grafico di x ↦ x^{3} con uno spostamento di (−1, 0) ?

- Traslando il grafico di x ↦ |x| con uno spostamento di (−1, 2)?

- Il simmetrico rispetto all’asse verticale del grafico di x ↦ (x − 1)^{2} + (x − \sqrt{3})^{3} di che funzione è grafico?

- Il simmetrico rispetto all’asse verticale del grafico di x ↦ x^{3} − 6x − x^{2} ?

- Il simmetrico del grafico di x ↦ (x − 2)^{3} + 1 rispetto alla bisettrice degli assi?

- Che dire della stessa simmetria per il grafico di x ↦ x^{2}? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 In generale se g(f(x)) = x il grafico di g sull’immagine di f si ottiene dal grafico di f per simmetria rispetto alla bisettrice. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Disegnare i grafici delle funzioni: x ↦ − sin x, x ↦ sin 3x, x ↦ cos \frac{x}{2}, x ↦ 3 sin x, x ↦ tan(x − \frac{π}{2}), x ↦ | sin x|, x ↦ sin^{2} x, x ↦ e^{−x}, x ↦ log(1 + 2x + x^{2}), x ↦ 3e^{x−1} − 2, | log |x − 1||.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7 Dire se le seguenti funzioni sono periodiche ed indicarne il periodo: x ↦ sin(π^{2}−πx), x ↦ e^{| sin x|+| cos x|}, x ↦ sin(x^{2}), x ↦ log(3 sin^{2} x+sin \frac{x}{2}), x ↦ sin^{5} x+3 cos^{7} 2x+1. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Un punto si muove su una retta in modo che la distanza dal punto iniziale è proporzionale al quadrato del tempo percorso. In due minuti percorre dodici metri. Si trovi la velocità media: a- nei primi cinque minuti, b- tra il quarto minuto e il settimo. Si calcoli la velocità istantanea al settimo minuto. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 a- Calcolare le derivate delle seguenti funzioni sin(100 · x), e^{x^{100}}, log \frac{x^{2}+1}{x^{2}+x+1}, tan x^{2} + tan^{2} x, \frac{x^{2}+x−1}{x^{3}+1}, ^{3}\sqrt{\frac{1}{1+x^{2}}} , sin^{2} cos 3x^{3}, \frac{arsin x}{arcos x}, x^{x}, (x log x)^{sin^{\sqrt{x}}}, log_{x}(2^{x} − x^{2}) b- Calcolare f′(x^{2}) se f(x) = x^{3}, e se g(x) = f(x^{2}) calcolare g′(x). c- Calcolare nel punto di coordinate (1, y) la derivata rispetto alla variabile y della f(x, y) = x^{x^{x^{y}}} + log x(artan(artan(artan(sin(cos(xy) + log(x + y)))))). d-Calcolare le derivate prime delle seguenti funzioni nei punti (2, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 2, 3) rispetto ad ognuna delle variabili:

e^{x^{4}y^{2}z} − xz sin(xy) − 1; \frac{xyz}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ; \frac{sin(xyz)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ; (x^{2} + z^{2}) log(x^{2} + y^{2}); \frac{x sin zy}{200+zy sin x}; \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{4}+1}; calcolare quindi le funzioni derivate rispetto alla prima variabile delle stesse funzioni. ————————————————————————————————————————– NOTA - per una funzione γ : t ↦ γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) da R in R^{3} (o R^{2}) le cui componenti sono derivabili, il vettore “velocità ” dato dalle derivate all’istante t_{0} se non nullo da la direzione tangente alla curva descritta dal cammino γ nel punto γ(t_{0}). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 10 a- Si trovi la tangente nel punto (1, 1) dell’insieme di punti del piano definito da x^{7} + y^{7} − 2 = 0 b- Si trovino le tangenti nel punto (0, 0) dell’insieme del piano definito da (x^{2} + y^{2})^{2} = 2(x^{2} − y^{2}). c- Si trovi l’angolo di incidenza in (1, 1) tra le due curve y = x, y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11 a- Si provino le relazioni arsin x + arcos x = \frac{π}{2}, |artanx + artan\frac{1}{x}| = \frac{π}{2}. b- Si provi che per x ≥ 0 si ha artan x ≥ \frac{x}{1+x}, 2xartan x ≥ log(1 + x^{2}). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 12 Si studino i grafici delle seguenti funzioni |x^{3}−1|+3, ||x|−3|+1, x|x^{2}−1|, (x−2|x|)^{2}, x+cos x, log(x+\sqrt{1 + x^{2}}), \frac{1+3e^{x}}{\sqrt{4+5e^{2x}}} , (∗) arsin\frac{2x}{1+x^{2}} . ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 13 a- Si studi la derivabilità della funzione definita da x sin \frac{1}{x} se x ≠ 0, e nulla per x = 0. b- Si studi la derivabilità della funzione definita da x^{2} sin \frac{1}{x} se x ≠ 0, e nulla per x = 0. c- Si studi la derivabilità della funzione definita da x^{α} sin \frac{1}{x^{β}} se x ≠ 0, e nulla per x = 0.

* d- Sia f(x) = \frac{x}{2} + x^{2} sin \frac{1}{x} se x ≠ 0, f(0) = 0. Si provi che esiste f′(0) ed è strettamente positiva, ma la funzione non è crescente in nessun intervallo contenente 0. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 14 a- Tra i triangoli rettangoli di ipotenusa di lunghezza assegnata quali hanno area massima? b- Tra i prismi regolari a base triangolare di volume assegnato V quali rendono minima l’area superficiale?

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ESERCIZIO n. 15 Sia f(x) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x^{2}}} & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}. a - Si provi che f è continua su R.

b - Si provi che le derivate di f in R \ {0} sono del tipo funzione razionale moltiplicato f. c - Si provi che f è derivabile infinite volte in x = 0. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 16 a- Si provi che la derivata del prodotto di n funzioni è la somma dei prodotti delle derivate di ognuna delle funzioni per le rimanenti funzioni: D(f_{1} · . . . f_{n}) = Df_{1} · f_{2} … f_{n} + f_{1} · Df_{2} · . . . f_{n} + …

a - Si provi D^{n}(f · g) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}D^{k}fD^{n−k}g.

b- Si supponga che la funzione g abbia n derivate nel punto a e che la funzione f abbia n derivate in g(a). Si provi che la funzione composta x ↦ f(g(x)) ha n derivate nel punto a. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 17 a- Si disegni la curva 2y^{2} − x(x − 1)^{2} = 0. b- Si disegni a curva (x^{2} + y^{2})^{2} = 2(x^{2} − y^{2}). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 18 Sia f(x) = x^{7} + x + 1. Si provi che la funzione è bigettiva da R in se. Detta g la sua inversa si calcoli lim_{y→+∞} g (\frac{8y}{y+4}). ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 19 a- Sia f(x) = x + log x. Si provi che è bigettiva da [0; +∞[ in se. b- Detta g l’inversa di f si provi che \frac{log g(a)}{g(a)} → 0 quando a → +∞.

* c- si determini esplicitamente una funzione h per cui g(a) − h(a) → 0 quando a → +∞. (Si provi log(1 + \frac{log g(a)}{g(a)}) = log a + g(a) − a). ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 20 Si scriva sin^{2} x come differenza di due funzioni convesse. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 21 Si consideri l’equazione f(x) = 2xartan x = 1. Si provi che ha una sola soluzione positiva α. Si provi che α ≤ 1. Si provi che \frac{2}{π} ≤ α. Usando la convessità di f si provi inoltre che α ≤ \frac{4}{2+π}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 22 Si mostri che le uniche funzioni f per cui f′(x) = f(x) sono le funzioni x ↦ αe^{x}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 23 -Si mostri per curva nello spazio data dal cammino t ↦ (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2π la retta tangente non è mai parallela al segmento tra i due estremi

- ^{∗} Si mostri che in ogni curva piana che ammette tangente continua ogni corda ha una direzione tangente parallela. ————————————————————————————————————————–