Matematica, Anno Accademico 2006-2007, Scienze Geologiche VI foglio di esercizi: M.Novaga, V.M. Tortorelli dal 13 dicembre al 22 dicembre 2006

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————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1 Si dica se (0, 0) è di massimo, di minimo, o di sella per ciascuna delle seguenti funzioni: x^{4} + y^{4}, x^{4} − y^{4}, 1 − x^{4} − x^{2}y^{2} − y^{4}. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Determinare i punti critici delle seguenti funzioni ed eventualmente determinarne la natura: x^{3} + (x − y)^{2}, x^{4} + (x − y)^{2}, xy + y^{2} − 3x, sin(x + y), x^{2} − sin y, x^{3} + y^{2} − 6xy − 39x + 18y + 20, x^{2}(1 − y)^{2}(z + \frac{1}{2})^{2}.. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3 Determinare minimo e massimo delle seguenti funzioni nei rispettivi insiemi:

xy su {x^{2} + y^{2} ≤ 1}, x^{2} + y^{2} − (x + y) su {|x| ≤ 1, |y| ≤ 1} \frac{x^{2}y}{x^{2}+4y^{2}} + x per xy > 0 xy + x per xy ≤ 0 su \{0 ≤ y ≤ 1, y^{2} − 1 ≤ x ≤ 1\}

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 4 Sia f(x, y) = 2x^{4} − x^{2}e^{y} + e^{4y}. Si calcolino l’estremo superiore e l’estremo inferiore di tale funzione e se ne calcoli il limite per x^{2} +y^{2} → +∞. Si osservi che vi sono solo due punti di minimo assoluto e nessun altro punto critico. Si traccino approssimativamente le linee di livello f = c, al variare di c in R, mettendo in risalto quali sono connesse, quali sono limitate. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 5 Sia data un insieme di coppie (x_{i}, y_{i})_{1≤i≤N}. Determinare a e b in modo tale che la funzione:

χ^{2}(a, b) = ∑_{i=1}^{N}(y_{i} − ax_{i} − b)^{2} sia minima. Il minimo è assoluto o relativo? ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 6 Si ricorda che C ⊆ R^{n} è detto convesso se contine interamente i segmenti delimitati dai suoi punti: se x ∈ C, y ∈ C e λ ∈ [0; 1] allora λx + (1 − λ)y ∈ C. Una funzione f : C → R si dice convessa se C è convesso e se λ ∈ [0; 1] allora f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).

a) Sia Ω un aperto convesso di R^{n}, e sia f : Ω ↦ R differenziabile. Dimostrare che f è convessa se e solo se, per ogni x, y ∈ Ω: ⟨∇f(x) − ∇f(y), x − y⟩ ≥ 0 dove ⟨·, ·⟩ rappresenta il prodotto scalare in R^{n}.

b) Nelle stesse ipotesi si deduca che f è convessa se e solo se il suo grafico sta sopra ogni piano tangente ad esso.

c) Se poi f è C^{2} si provi che f è convessa se e solo se Hf(x) è definita non negativa in ogni punto. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 7

a) Sia f : Ω ⊂ R^{n} → R una funzione strettamente convessa, ove Ω è un aperto convesso. Si dimostri che f ha al più un estremale interno a Ω?

b) Utilizzando che una funzione convessa a valori reali, definita su un chiuso C limitato convesso è continua si provi che se C = Ω̄, con Ω aperto convesso, allora il massimo di f è assunto su ∂Ω.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 8 Trovare i punti di massimo o di minimo relativo e calcolare i valori di massimo relativo e minimo relativo, delle seguenti funzioni sui domini rispettivi:

f(x, y) = 2x^{2} + y^{2} per (x + y)^{2} + (x − y)^{2} = 1 ;

f(x, y) = \frac{x^{4}+2x^{3}y}{x^{4}+y^{4}} , y − x^{2} = 0 ; f(x, y) = sin((x − 2)^{2} + y^{2}) , (1 − x)^{3} + y^{2} = 0 ;

f(x, y) = x^{2} + 6xy + 3y^{2} , x^{2} + y^{2} − 2xy = \frac{1}{(x+y−2)^{2}} ;

f(x, y, z) = e^{−(x^{2}−y+z^{2})} , \frac{x^{2}}{4} + y^{2} + 3z^{2} ≤ 1 , (Ex.C.P.S.29.14, 278) ;

f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} , \{ \begin{matrix}(z + 1)^{2} − y^{2} − (x + 3)^{2} = 0 \\ z^{2} + y^{2} − (x + 1)^{2} = 0 \\ z > −3 \end{matrix} ;

f(x, y, z) = (x + 1)^{2} + (y − ε)^{2} + z , \{ \begin{matrix}(1 − x)z = (1 + x)y \\ z^{2} + y^{2} − (x + 1)^{2} = 0 \\ z > −3 \end{matrix} ;

f(x, y, z) = x^{2} + 2y^{2} + z^{2} , tetraedro di vertici (−1, −1, −1), (1, −1, −1), (0, 1, −1), (0, 0, 1) ;

f(x, y, z) = x^{2} + 2y^{2} + z^{2} , max{|x + 2|, |y + 3|, |z + 4|} = 1 ;

f(x, y, z, w) = x^{2} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{z^{2}}{3} + \frac{w^{2}}{4} , \{ \begin{matrix}(x + y + z + w)^{2} + (x − y + z − w)^{2} = 1 \\ (x − y − z + w)^{2} + (x − y − z − w)^{2} = 1 \end{matrix}

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 9 Provare che l’insieme D = \{(x, y, z) : ^{\frac{\sqrt{x^{2}+ \frac{y}{2}^{2}}−3}{4}} + z^{2} = 1\} è chiuso e limitato. Determinare poi la massima e la minima distanza dei punti di D dall’origine. ————————————————————————————————————————– * ESERCIZIO n. 10 È vero che il minimo valore di f(x, y) = (x^{2} + y^{2})^{2} − x^{2} + y^{2} su (x − R)^{2} + (y − R)^{2} = 2R^{2} è sempre 0? Giustificare la risposta. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 11

a) Trovare il massimo volume di un parallelepipedo rettangolo inscritto nell’ellissoide x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} + z^{2}/c^{2} = 1.

b) Trovare l’ellissoide x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} + z^{2}/c^{2} = 1 di volume massimo per cui a + b + c = M, a, b, c > 0.

c) Trovare la minima distanza tra gli insiemi {x^{2} + y^{2} = 1} ∩ {yz = xz} e {z − y = 0} ∩ {x + y + z = 1}.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.12 Sia O l’insieme delle matrici ortogonali n × n, e sia f : O ↦ R definita da f(A) = tr A. Si dimostri che esistono unici e si calcolino i punti di massimo e minimo di f.

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ESERCIZIO n.13 Dato un vettore x = (x_{1}, … x_{n}), tale che x_{i} > 0 per ogni i e ∑_{i=1}^{n} x_{i} = 1, si definisce H(x) = − ∑_{i=1}^{n} x_{i} log x_{i}. Determinare il vettore che massimizza H.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.14 In un mercato duopolistico ci sono n aziende che producono lo stesso bene, ognuna in quantità y_{i}. Il prezzo p del bene dipende dalla quantità totale prodotta ∑_{i=1}^{n} y_{i}. Ogni azienda decide di produrre la quantità y_{i} che massimizza il proprio profitto:

f_{i}(y_{i}) = p (∑_{i=1}^{n} y_{i}) y_{i} − cy

dove c è il costo unitario di produzione del bene. Determinare in quali condizioni il mercato è in equilibrio (ogni azienda, cioè, non intende modificare la propria produzione y_{i}). Dimostrare che per n → ∞ il prezzo di equilibrio p converge a c. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 15

a) - Se u ∈ C^{2}(R^{n}) e △u = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂^{2}u}{∂x_{i}^{2}} > 0 allora u non ha punti di massimo locale.

- Se u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C(\overline{Ω}), Ω aperto limitato, se △u ≥ 0 allora max\overline{Ω} u = max_{∂Ω} u. (Si consideri x_{0} di massimo su Ω̄ di u e v(x) = u(x) + ε|x − x_{0}|^{2}. Si applichi il precedente punto a v.)

- Si deduca che se △u ≥ 0 allora u non ha punti di massimo locale stretto.

b) - Si provi che se Ω é un aperto limitato, f ∈ C(R^{n}), g ∈ C(R^{n}) allora vi é al piú una funzione u definita su \overline{Ω} che risolve:

\{ \begin{matrix}△u(x) = f(x) & x ∈ Ω \\ u(x) = g(x) & x ∈ ∂Ω \\ u ∈ C(\overline{Ω}) ∩ C^{2}(Ω) \end{matrix}

- Si provi che per questa eventuale soluzione si ha:

max_{\overline{Ω}} |u| ≤ max_{∂Ω} |g| + \frac{(diamΩ)^{2}}{2n} max_{\overline{Ω}} |f|.

NOTA: Si puó provare:

- se Ω é un connesso aperto, u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C(\overline{Ω}), △u ≥ 0, allora se u assume massimo in \overline{Ω} allora lo assume solo sul bordo ∂Ω oppure u é costante.

- se Ω é un connesso aperto, u ∈ C^{2}(Ω) , △u = 0, allora u non assume ne massimi ne minimi locali interni in Ω a meno che non sia costante.

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ESERCIZIO n. 16 Utilizzando quanto dimostrato nel precedente esercizio si trovino tutte le soluzioni delle equazioni:

\{ \begin{matrix}△u(x, y) = 0 & x^{2} + y^{2} < 1 \\ u(x, y) = (\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} )^{2} & x^{2} + y^{2} = 1 \\ u ∈ C(\overline{Ω}) ∩ C^{2}(Ω) & Ω = \{x^{2} + y^{2} < 1\} \end{matrix} \{ \begin{matrix}△u(x, y) = 0 & max\{|x|, |y|\} < π \\ u(x, y) = sin x cos y & max\{|x|, |y|\} = π \\ u ∈ C(\overline{Ω}) ∩ C^{2}(Ω) & Ω = \{max\{|x|, |y|\} < π\} \end{matrix}

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n.17 Siano I ⊆ R un intervallo, limitato o meno, f : (x, y) ∈ I × R ↦ f(x, y) una funzione per cui dato y ∈ R ∃ min_{x∈I} f(x, y) := g(y) e si ponga C(y) =: {x ∈ I : f(x, y) = g(y)}.

a: Per I = [0; 1] si mostri un esempio in cui g non risulta derivabile in qualche punto, pur essendo f differenziabile infinite volte.

[Si consideri il sopragrafico di g in termini di quello di f]

b: - Se y ↦ f(x, y) è continua si provi che: o(1) ≥ g(y + h) − g(y), per h → 0

- se poi esiste \frac{∂f}{∂y} si provi: h · \frac{∂f}{∂y} (x, y) + o(h) ≥ g(y + h) − g(y), per h → 0 e x ∈ C(y)

c: Se f è continua su I × R, (x_{n}, y_{n}) → (x, y) ∈ I × R e x_{n} ∈ C(y_{n}) si provi che x ∈ C(y).

d: Si assuma che I = [a; b] sia limitato e chiuso.

- Si provi che se f è continua su I × R anche g lo è su R;

[Si usi giustificatamente l’uniforme comtinuità di f sui sottoinsiemi limitati di I×R ]

- (*) se poi vi è \frac{∂f}{∂y} continua allora g ha derivata “in avanti” eguale al minimo di \frac{∂f}{∂y} su C(y):

∃(lim_{h→0^{+}} \frac{g(y+h)−g(y)}{h}:=) \frac{d^{+}}{dy} min_{x} f(x, y) = min_{x∈C(y)} \frac{∂f}{∂y} (x, y)

[Ci si riduca ad usare il teorema del valor medio, uniforme continuità, sottosuccessioni e il risultato del terzo punto]

e: Si mostri, anche con una semplice esemplificazione grafica, che vi sono f differenziabili infinite volte su R × R per cui g non è continua né a destra né a sinistra.