Matematica, Anno Accademico 2006-2007, Scienze Geologiche Compendio sui numeri complessi: M.Novaga, V.M. Tortorelli 19 gennaio 2007

———————————————————————————————————————— Notazione dei numeri complessi - Con insieme dei numeri complessi sintende l’insieme della espressioni a + ib ove a ∈ R , b ∈ R e il parametro i è una costante non reale a cui si impone la regola di calcolo i^{2} = −1. I numeri reali si identificano con i numeri complessi del tipo a + i0. Somma e prodotto di numeri complessi sono quindi quelli dei polinomi nella “variabile” i a coefficienti reali, solo che nei calcoli si usa la regola data per ridursi sempre a polinomi di primo grado. Quindi

(a + ib) + (x + iy) = (a + x) + i(b + y);

(a + ib)(x + iy) = ax + aiy + ibx + ibiy = ax + iay + ibx + i^{2}by = (ax − by) + i(ay + bx) Quindi ogni numero complesso a + ib nonullo ha un reciproco \frac{a−ib}{a^{2}+b^{2}} .

Considerando l’insieme dei numeri complessi con tali operazioni si parla di campo dei numeri complessi, che si indica con C. Spesso C si identifica con R^{2}: a + ib ∼ (a, b). Il coniugato di un numero complesso z = x + iy si indica con \overline{z} ed è x − iy (simmetrico rispetto all’asse orizzontale). Il modulo di un numero complesso z = x + iy è la distanza dall’origine del corrispondente punto nel piano cartesiano \sqrt{x^{2} + y^{2}} e si indica con |z|. Si ha |z|^{2} = z\overline{z}: q uindi z^{−1} = \frac{\overline{z}}{|z|^{2}} . La convergenza di numeri complessi è quella delle coppie di numeri reali associati: in particolare z_{n} → z è |z_{n} − z| → 0.

- Forma trigonometrica Considerando le coordinate polari nel piano ogni numero complesso si scrive nella forma ρ(cos φ + i sin φ). L’angolo φ non è individuato se non a meno di multipli di 2π: e.g. se a > 0, b > 0 allora a + ib = \sqrt{a^{2} + b^{2}}(cos artan\frac{b}{a} + sin artan\frac{b}{a}). Appunto ρ si dirà modulo di un numero complesso, e φ ∈ [0; 2π[ argomento principale.

- Dalle formule di addizione se z = ρ(cos φ + i sin φ), w = r(cos θ + i sin θ) si ha: (*)zw = ρr(cos(φ + θ) + i sin(φ + θ))

- Radici n^{e} Quindi ogni numero complesso z = ρ(cos φ + i sin φ) ha esattamente n radici n^{e} complesse

z_{1} =^{n}\sqrt{ρ}(cos \frac{φ}{n} + i sin \frac{φ}{n}) … z_{n} =^{n}\sqrt{ρ} (cos (\frac{2π(n − 1)}{n} + \frac{φ}{n}) + i sin (\frac{2π(n − 1)}{n} + \frac{φ}{n}))

Le radici n^{e} di 1 sono quindi i vertici di un poligono regolare inscritto nella circonferenza untitaria. Forma esponenziale Considerando il modulo di un numero complesso come esponenziale e osservando che (*) il prodotto di numeri complessi ha come argomento la somma degli argomenti riportata in [0; 2π[ si definisce e^{α+iβ} = e^{α}(cos β + i sin β) = e^{α}e^{iβ} constatando che ha le stesse regole di calcolo dell’esponenziale.

Si hanno a disposizione tutti gli srumenti per dare la dimostrazione del seguente teorema (la si omette). Teorema 1 FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA Ogni polinomio a coefficienti complessi a_{0} + a_{1}z + … + a_{n}z^{n} di grado n è prodotto di termini del tipo (z − w)^{k} per a_{n}. I numeri w sono tutte e sole le radici del polinomio, i numeri k sono le rispettive molteplicità e la loro somma è n. Poichè un polinomio a coefficienti reali se ha come radice w = a + ib ha anche come radice a − ib si ha che un polinomio a coefficienti reali si scrive come prodotto di termini del tipo (x − c)^{k}, ((x − a)^{2} + b^{2})^{h} = (x − (a + ib))^{h}(x − (a − ib))^{h}, ove c sono le radici reali e la somma degli k e dei 2h è il grado del polinomio.