Matematica, Anno Accademico 2007-2008, Scienze Geologiche

V.M. Tortorelli

Diseguaglainza tra media geometrica e media aritrmetica e numero e

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- Per ogni n ∈ N vale la seguente proprietà D_{n}:

comunque siano dati n numeri non negativi si ha \sqrt[n]{x_{1} … x_{n}} ≤ \frac{x_{1}+...x_{n}}{n}.

l’espressione a sinistra si dice media geometrica quella a derstra media aritmetica.

DIMOSTRAZIONE: Lo schema è il seguente:

1- Si ha che se vale D_{n} vale D_{2n}.

2- Si ha che se vale D_{n+1} vale D_{n}.

3- Si deduce che per ogni n vale D_{n} (ovvero è vero che la media geometrica è sempre minore o eguale alla media aritmetica).

Il terzo punto segue direttamente dal metodo di induzione. Infatti dal primo punto per induzione su m si deduce che D_{2^{m}} è vera per ogni m: D_{2^{1}} è vera, e se è vera D_{2^{m}} per il primo punto ne segue D_{2^{m+1}} Quindi per provare che D_{n} vale si osserva che essendo vera D_{2^{n}} il secondo punto permette “tornare indietro”.

(Per quanto intuitivo questo ultimo passaggio a rigore rende necessario un argomento induttivo abbastanza ostico, per rendere conto dell’argomento del “tornare indietro un numero variabile di passi”: si considera la proprietà C_{h}: “se vale D_{h} allora vale D_{m} per tutti gli m≤h” e la si dimostra per induzione su h. C_{1} è vera. Se vale C_{h} bisogna mostrare che vale C_{h+1}: ora se si assume che vale D_{h+1} dalla prima parte si ha che vale D_{h} e quindi utilizzando l’ipotesi induttiva C_{h} si ha che vale D_{m} per ogni m≤h, e d’altronde si è assunto che vale anche D_{h+1}. Quindi C_{h} vale sempre, in particolare per h=2^{n}>n).

Il primo punto si prova come segue: D_{2} vale poichè posto x = a^{2}, y = b^{2} vale a^{2}+b^{2}−2ab = (a − b)^{2} ≥ 0 . Quindi si prosegue: \sqrt[2n]{x_{1} … x_{2n}} = √\overline{^{n} \sqrt{x_{1} … x_{n}} ^{n} \sqrt{x_{n+1} … x_{2n}}} ≤

per D_{2} avendo come argomenti le due radici n^{e}:

≤ \frac{\sqrt[n]{x_{1}...x_{n}}+ \sqrt[n]{x_{n+1}...x_{2n}}}{2} ≤

usando D_{n} due volte con x_{1}...x_{n} e per x_{n+1}...x_{2n}

≤ \frac{\frac{x_{1}+...+xn}{n} + \frac{x_{n+1}+...+x_{2n}}{n}}{2} =

= \frac{x_{1}+...+x_{2n}}{2n}

Il secondo punto si prova come segue: dati n numeri non negativi x_{1}, …, x_{n} si usa D_{n+1} per i numeri x_{1}, …, x_{n} e \frac{x_{1}+...+x_{n}}{n}, in modo che elevando alla n + 1 i membri della diseguaglianza ottenuta si ha:

x_{1} · . . . x_{n} \frac{x_{1}+...+x_{n}}{n} ≤ (\frac{x_{1}+...+x_{n}+ \frac{x_{1}+...+xn}{n}}{n+1} )^{n+1} = (\frac{x_{1}+...+x_{n}}{n} )^{n+1}

quindi si divide per la media aritmetica di x_{1}, … x_{n} e si fa la radice n^{a}. ————————————————————————————————————————– Un’applicazione di questa diseguaglianza tra media aritmetica e media geometrica riguarda il fatto che la successione che da il valore finale dopo n istanti di una grandezza che varia ad ogni istante con un tasso \frac{x}{n}, cresce al crescere di n:

Per esempio il debito “cumulato” alla scadenza di un periodo di prestito, con un tasso di interesse composto \frac{x}{n}, variabile in funzione del numero n dei sottoperiodi concessi per l’ “estinzione del debito”, cresce al crescere di n :

1 + x, 1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2}(1 + \frac{x}{2}) = (1 + \frac{x}{2})^{2}, …, (1 + \frac{x}{n})^{n} : x_{h+1} − x_{h} = \frac{x}{n}x_{h}, x_{n} = (1 + \frac{x}{n})^{n} Più precisamente

(1 + \frac{x}{n+1})^{n+1} ≥ (1 + \frac{x}{n})^{n} (se n > 1 − x), (NOTA: tale diseguaglianza si può chiaramente provare direttamente usando il binomio di Newton, per il caso x = 1, ovvero x ≥ 0, si veda Faedo-Modica pag. 85).

DIMOSTRAZIONE - (1 + \frac{x}{n})^{n} = (1 + \frac{x}{n}) · . . ._{n volte} . . . · (1 + \frac{x}{n}) · 1 ≤

si usa la diseguaglianza tra le medie di n + 1 numeri non negativi

≤ (\frac{1+ \frac{x}{n} +..._{n volte}...+1+ \frac{x}{n} +1}{n+1})^{n+1} = (\frac{n+x+1}{n+1})^{n+1} = (1 + \frac{x}{n+1})^{n+1}

Corollario: La successione (1 + \frac{x}{n})^{n} converge. DIMOSTRAZIONE - Essendo crescente basta mostrare che è limitata superiormente. Basta mostrarlo per n ≥ 0. Si ha per n ≥ x ≥ 0: (1 + \frac{x}{n})^{n} (1 − \frac{x}{n})^{n} ≤ (1 − \frac{x^{2}}{n^{2}} )^{n} ≤ 1

quindi essendo (1 − \frac{x}{n})^{n} crescente per gli n > xsi ha quanto desiderato.

DEFINIZIONE: Il numero limite della successione crescente (1 + \frac{1}{n})^{n} si dice costante di Nepero e si indica con la lettera e. TEOREMA Il limite di (1 + \frac{x}{n})^{n} è e^{x}.

- Un’altra diseguaglianza notevole è la seguente (1 + \frac{1}{n})^{n+1} ≥ (1 + \frac{1}{n+1})^{n+2},

DIMOSTRAZIONE- (1 + \frac{1}{n})^{n+1} = (\frac{n+1}{n})^{n+1} = \frac{1}{(\frac{n}{n+1})^{n+1}} = _{\frac{1}{(1− \frac{1}{n+1})^{n+1}}} ≥

per quanto provato al punto precedente con x = −1

≥ _{\frac{1}{(1− \frac{1}{n+2})^{n+2}}} = (1 + \frac{1}{n+1})^{n+2}

NOTA: poichè 0 ≤ (1 + \frac{1}{n})^{n+1} − (1 + \frac{1}{n})^{n} ≤ \frac{3}{n} la successione (1 + \frac{1}{n})^{n+1} da invece un’approssimazione per eccesso di e.

- Infine è interessante la seguente:

n \sqrt{n} ≥ ^{n+1} \sqrt{n + 1} (se n ≥ 4) da cui segue che lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{n} = 1. Per provare che ^{n} \sqrt{n} decrescere al crescere di n ≥ 4 si procede come segue:

n \sqrt{n} ≥ ^{n+1} \sqrt{n + 1} se e solo se

n^{n+1} ≥ (n + 1)^{n} se e solo se

n ≥ \frac{(n+1)^{n}}{n^{n}} = (1 + \frac{1}{n})^{n}, Si ha inoltre:

(1 + \frac{1}{n})^{n} ≤ (si moltiplica per un numero maggiore di 1)
≤ (1 + \frac{1}{n})^{n+1} ≤ (essendo decrescente per quanto appena provato)

≤ (1 + 1)^{2} = 4. Quindi per n ≥ 4 si ha ^{n} \sqrt{n} ≥ ^{n+1} \sqrt{n + 1}.