Programma del corso di Matematica

Corso di laurea in Scienze geologiche - a. a. 2003-04

Numeri: numeri reali, regole di calcolo, assioma di continuità, estremo superiore ed estremo inferiore. Numeri naturali, principio di induzione, applicazioni: formula di Newton per il binomio, disuguaglianza delle medie. Proprietà di Archimede, densità dei razionali. Funzione esponenziale, logaritmi. Misura degli angoli, il numero π, funzioni trigonometriche. Numeri complessi: generalità, modulo e argomento, radici n-sime, formula di de Moivre. Geometria nel piano e nello spazio: punti, rette, piani, segmenti, distanza, vettori, prodotto scalare, coniche nel piano, sfera. Successioni: generalità, limiti e loro proprietà algebriche e di ordinamento. Successioni limitate, successioni per ricorrenza. Serie, esempi: serie geometrica, serie armonica. Sviluppi decimali. Successioni monotone, serie a termini positivi, criteri di convergenza; serie esponenziale, il numero e. Assoluta convergenza, criterio di Leibniz. Successioni di Cauchy, sottosuccessioni. Funzioni: Spazio euclideo, punti d’accumulazione, teorema di Bolzano-Weierstrass, insiemi aperti e chiusi, insiemi compatti. Funzioni reali di una o più variabili: funzioni iniettive, surgettive, limitate, pari e dispari; punti di massimo e di minimo. Continuità. Limiti e loro proprietà. Alcuni limiti notevoli. Asintoti di una funzione. Teorema-ponte. Teoremi sulle funzioni continue: Weierstrass, esistenza degli zeri, esistenza dei valori intermedi, continuità della funzione inversa. Esempi: funzioni trigonometriche inverse, funzioni iperboliche inverse. Calcolo differenziale: La derivata, suo significato geometrico. Continuità delle funzioni derivabili. Derivabilità delle funzioni elementari. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange, applicazioni: se f′ = 0 allora f è costante, serie del logaritmo e dell’arcotangente. Derivata della funzione inversa. Derivate successive, limiti di forme indeterminate: teorema di de L’Hôpital, formula di Taylor. Massimi e minimi relativi, crescenza e decrescenza, convessità e concavità, punti di flesso. Calcolo integrale: L’integrale secondo Riemann: suddivisioni, somme superiori e inferiori, integrabilità: criterio di integrabilità, integrabilità in [a, b] delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Proprietà dell’integrale: linearità, monotonia, additività rispetto all’intervallo di integrazione. Teorema fondamentale del calcolo integrale, primitive, primitive di alcune funzioni elementari. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrali impropri: integrali su semirette, integrali di funzioni illimitate. Esempio: integrale di x^{−α} per α > 0. Teorema di confronto. Criterio integrale per la convergenza delle serie. Equazioni differenziali: generalità, equazioni in forma normale, problema di Cauchy. Equazioni del primo ordine: equazioni lineari, equazioni a variabili separabili. Equazioni del secondo ordine lineari a coefficienti costanti: risoluzione dell’equazione omogenea, metodo di variazione delle costanti arbitrarie, caso di secondi membri di tipo esponenziale-polinomio.

TESTI CONSiGLIATI

G.C. Barozzi, Primo corso di analisi matematica, Zanichelli 2002. P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi matematica uno, Liguori 1998. P.Acquistapace, Appunti di Analisi matematica, scaricabili dalla rete alla pagina

 http://www.dm.unipi.it/~acquistp

(si prega di stamparli fronte-retro per non sprecare carta).

MODALITÀ DI ESAME

Ci saranno una prova scritta e una prova orale. Gli studenti potranno evitare la prova scritta se svolgeranno in modo sufficiente i due compitini previsti nei giorni 6 novembre (giovedì) e 17 dicembre (mercoledì).