Calcolo Differenziale e Integrazione, Anno Accademico 2001-2002, Matematica

Guasoni, Modica, Tortorelli I foglio di compendio alla teoria dal 22 ottobre 2001 al 26 ottobre

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Proposizione 1: Se φ_{n} −_{\overline{n→∞}}→ φ uniformemente in un intorno di x_{0}, e per ogni n ∈ N φ_{n}(x) −_{\overline{x→x_{0}}}→ l_{n} allora:

∃ lim_{x→x_{0}} φ(x) = l ⟺ ∃ lim_{n→∞} l_{n} = l.

In particolare se φ_{n} converge uniformemente ad φ in un intorno di x_{0} ed esistono tutti i limiti:

lim_{x→x_{0}} lim_{n→∞} φ_{n}(x) = lim_{n→∞} lim_{x→x_{0}} φ_{n}(x).

DIM.: ⇒) |l_{n} − l| ≤ |l_{n} − φ_{n}(x)| + |φ_{n}(x) − φ(x)| + |φ(x) − l| ≤ |l_{n} − φ_{n}(x)| + sup |φ_{n} − φ| + |φ(x) − l|,

i) Si passa al limite per x → x_{0}: |l_{n} − l| ≤ sup |φ_{n} − φ|; ii) si passa al limite per n → ∞: 0 ≤ lim sup_{n→∞} |l_{n} − l| ≤ lim_{n→∞} (sup |φ_{n} − φ|) = 0. ⇐) |φ(x) − l| ≤ |φ(x) − φ_{n}(x)| + |φ_{n}(x) − l_{n}| + |l_{n} − l| ≤ sup |φ_{n} − φ| + |φ_{n}(x) − l_{n}| + |l_{n} − l|,

i) Si passa al limite per x → x_{0}: 0 ≤ lim sup_{x→x_{0}} |φ(x) − l| ≤ sup |φ_{n} − φ| + |l_{n} − l|; ii) si passa al limite per n → ∞: 0 ≤ lim sup_{x→x_{0}} |l_{n} − l| ≤ lim_{n→∞} (sup |φ_{n} − φ| + |l_{n} − l|) = 0.• Definizione 1: Le funzioni φ_{n}, soddisfano la condizione di Cauchy uniforme su D se

∀ε > 0 ∃ν ∈ N ∀ m, n ≥ ν sup_{D} |φ_{n} − φ_{m}| ≤ ε.

Proposizione 2: Una successione di funzioni φ_{n} converge uniformemente in D se e solo se soddisfa la condizione di Cauchy uniforme su D. DIM.: ⇒) Si prova prima l’esistenza del limite puntuale e quindi si prova che è uniforme.

i) Essendo φ_{n} di Cauchy uniformemente su D, in particolare per ogni x ∈ D le successioni di valori φ_{n}(x) sono di Cauchy: |φ_{n}(x)−φ_{m}(x)| ≤ sup |φ_{n}−φ_{m}|. Per completezza del codominio

∀x ∈ D ∃ lim_{n→∞} φ_{n}(x) =: φ(x) ∈ R.

ii) Fissato ε > 0 si consideri ν per cui: ∀ m, n ≥ ν : sup_{D} |φ_{m} − φ_{n}| ≤ ε. Si ha:

sup_{D} |φ_{n} − φ| = sup_{x∈D} lim_{m→∞} |φ_{n}(x) − φ_{m}(x)| = sup_{x∈D} lim inf_{m→∞} |φ_{n}(x) − f_{m}(x)| =

= sup_{x∈D} sup_{M∈N} inf_{m≥M} |φ_{n}(x) − φ_{m}(x)| ≤

≤ lim inf_{m→∞} sup_{x∈D} |φ_{n}(x) − φ_{m}(x)| ≤ ε , ∀n ≥ ν.

⇐) Come per i numeri reali.• Calcolo Differenziale e Integrazione, Anno Accademico 2001-2002, Matematica

I foglio di compendio alla teoria, dal 22 ottobre 2001 al 26 ottobre

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Proposizione 3: Se f_{n} −\frac{punt.}{n→∞}→ f e f′_{n} −\frac{unif.}{n→∞}→ g su ]a; b[ allora anche f è derivabile in ]a; b[ e f′ = g. In altri termini:

∃ (\frac{d}{dx} lim_{n→∞} f_{n}(x))_{x=x_{0}} = lim_{n→∞} \frac{df_{n}}{dx} (x_{0}) , ∀ x_{0} ∈]a; b[

DIM.: Fissato x_{0} ∈]a; b[ si vuole provare che \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0})}{h} − g(x_{0}) −\overline{h → 0}→ 0.

Sia δ > 0 per cui a < x_{0} − δ < x_{0} + δ < b.

i) Per convergenza puntuale di f_{n} ad f e di f′_{n} a g, si ha per ogni |h| ≤ δ:

R_{n}(h) − f′_{n}(x_{0}) = \frac{f_{n}(x_{0} + h) − f_{n}(x_{0})}{h} − f′_{n}(x_{0}) −\overline{n → ∞}→ \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0})}{h} − g(x_{0}).

ii) D’altronde per definizione di derivata si ha: R_{n}(h) − f′_{n}(x_{0}) → 0, h → 0.

iii) Se la convergenza, per n → ∞, di R_{n}(h) a \frac{f(x_{0}+h)−f(x_{0})}{h} fosse uniforme rispetto a |h| ≤ δ, la proposizione 1 garantirebbe la tesi desiderata. Infatti con φ_{n}(h) = R_{n}(h)−f′_{n}(x_{0}), l_{n} = 0 = l:

∃ lim_{h→0} \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0})}{h} − g(x_{0}) = lim_{h→0} lim_{n→∞} \frac{f_{n}(x_{0} + h) − f_{n}(x_{0})}{h} − f′_{n}(x_{0}) =

= lim_{n→∞} lim_{h→0} \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0})}{h} − f′_{n}(x_{0}) = lim_{n→∞} 0 = 0.

Nei prossimi due punti si prova la convergenza uniforme in |h| ≤ δ, per n → ∞, delle R_{n}(h).

iv) Si ha la seguente valutazione dell’errore dei rapporti incrementali:

sup_{|h|≤δ} |\frac{f_{n}(x_{0} + h) − f_{n}(x_{0})}{h} − \frac{f_{m}(x_{0} + h) − f_{m}(x_{0})}{h}| =

sup_{|h|≤δ} |\frac{f_{n}(x_{0} + h) − f_{m}(x_{0} + h) − (f_{n}(x_{0}) − f_{m}(x_{0}))}{h}| =

(per il teorema di Lagrange alla funzione x ↦ f_{n}(x) − f_{m}(x), vi è ξ_{m,n,h} tra x_{0} e x_{0} + h)

= sup_{|h|≤δ} |f′_{n}(ξ_{m,n,h}) − f′_{m}(ξ_{m,n,h})| ≤ (l’immagine di h ↦ ξ_{m,n,h} è contenuta in ]a; b[)

≤ sup_{x∈]a;b[} |f′_{n}(x) − f′_{m}(x)| .

v) Poichè f′_{n} converge uniformemente, per la proposizione 2 è di Cauchy uniformemente e quindi per la diseguaglianza appena provata anche la successione di funzioni R_{n}(h) = |\frac{f_{n}(x_{0}+h)−f_{n}(x_{0})}{h} | è di Cauchy uniformemente in |h| ≤ δ.

vi) Ancora per la proposizione 2 si ha quindi che R_{n}(h) converge uniformemente.•

ESERCIZIO: Sulla falsariga del precedente argomento si provi la seguente:

Proposizione 4: Se f_{n} −\frac{punt.}{n→∞}→ f e f′_{n} convergono uniformemente allora f_{n} −\frac{unif.}{n→∞}→ f.