Calcolo Differenziale ed Integrazione, compito del 17-12-2001

Soluzioni

1. L’integrale dato converge quando convergono i due integrali:

∫_{0}^{1} x^{\frac{1}{2} (α−1)}dx  e  ∫_{−1}^{0} x^{− \frac{1}{2} (α+1)}dx

Il primo integrale converge quando \frac{1}{2}(α − 1) > −1 e quindi α > −1, mentre il secondo quando −\frac{1}{2}(α + 1) > −1 e quindi α < 1. In conclusione, l’integrale converge per −1 < α < 1.

2. Mediante la variazione delle costanti arbitrarie si ottiene come soluzione parti-

colare:

v(x) = −x cos x + (log sin x) sin x

e quindi la soluzione generale è data da:

u(x) = v(x) + a cos x + b sin x

dove a e b sono coefficienti qualsiasi.

3. Si nota che, per ogni x > 0:

lim_{n→∞} n(x^{\frac{1}{n}} − 1) = lim_{n→∞} \frac{x^{\frac{1}{n}} − 1}{\frac{1}{n}} = lim_{α→0} \frac{e^{α log x} − 1}{α} = log x

D’altra parte, n(x^{\frac{1}{n}} −1)−log x è illimitata per ogni n sia a destra, dal momento che ogni potenza di x cresce più velocemente del logaritmo, sia a sinistra, visto che log x è illimitata e n(x^{\frac{1}{n}} − 1) è limitata. Ne segue che la convergenza non può essere uniforme sugli intervalli del tipo (0, b) e (a, ∞).

Si vede facilmente che la convergenza è uniforme sugli intervalli del tipo [1, b) e (a, 1], con a > 0 e b < ∞, poichè in tali intervalli n(x^{\frac{1}{n}} − 1) − log x è monotona in x. Ne segue che la convergenza è uniforme su tutti gli intervalli (a, b), con con a > 0 e b < ∞.

4. 1) a_{m} = 0 se m non è fattoriale di alcun numero naturale, quindi si ha:

lim sup_{m→∞} |a_{m}|^{\frac{1}{m}} = lim sup_{n→∞} |a_{n}|^{\frac{1}{n}} = lim_{n→∞}(n^{n})^{\frac{1}{n!}} = lim_{n→∞} n^{\frac{1}{(n−1)!}} = lim_{n→∞} e^{\frac{log n}{(n−1)!}} = 1

e quindi il raggio di convergenza è 1.

2) Per il criterio del rapporto, abbiamo che \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{a_{n}}{a_{n−1}} = 2, quindi il raggio di convergenza è \frac{1}{2}.