Calcolo Differenziale ed Integrazione, compito del 1-02-2002. Versione concernente l’intero programma.

NOME COGNOME Matricola n.

————————————————————————————————————————– SI SVOLGANO ALMENO DUE TRA GLI ESERCIZI 1, 2, 3 ED ENTRAMBI GLI ESER-CIZI 4, 5. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 1

Sia f : ℝ^{2} ↦ ℝ definita da: f(x, y) = \begin{cases}\frac{y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}−|x|} & per x ≠ 0 \\ 2|x| & per x = 0 \end{cases}

Si determinino i punti (x, y) dove la funzione f è rispettivamente: continua, derivabile direzionalmente, differenziabile. ———————————————————————————————————————— Calcolo Differenziale ed Integrazione, compito del 1-02-2002. Versione concernente l’intero programma.

NOME COGNOME

Matricola n. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 2

a) Si provi che il sottoinsieme del piano {(x, y) : xe^{y} − ye^{x} = 0 ≠ x − y} è grafico di una funzione x ↦ φ(x).

b) Si calcoli lim_{x→1} φ(x). ————————————————————————————————————————– Calcolo Differenziale ed Integrazione, compito del 1-02-2002. Versione concernente l’intero programma.

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Matricola n. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 3 Si studino i punti di massimo e minimo relativo della funzione f(x, y, z) = x^{2} + 3y^{2} + 2z^{2} sulla sfera di raggio 1 e centro l’origine. ————————————————————————————————————————– Calcolo Differenziale ed Integrazione, compito del 1-02-2002. Versione concernente l’intero programma.

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Matricola n. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 4 Si dica se il seguente integrale è convergente e nel caso si calcoli il suo valore:

∫_{ℝ} \frac{1}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})(1 + x^{2} + y^{2} + z^{2})} dxdydz.

————————————————————————————————————————– Calcolo Differenziale ed Integrazione, compito del 1-02-2002. Versione concernente l’intero programma.

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Matricola n. ————————————————————————————————————————–

ESERCIZIO n. 5 Si determini se la seguente forma differenziale è esatta nel dominio D specificato:

(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} ) (ydx − xdy) , D = \{(x, y) : xy ≠ 0\}.

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