Calcolo Differenziale e Integrazione, Anno Accademico 2001-2002, Matematica

Guasoni, Modica, Tortorelli

II foglio di compendio alla teoria

dal 12 novembre al 16 novembre

Definizione: - Sia G un gruppo di funzioni bigettive da un insime M in se, rispetto alla composizione di funzioni. Due elementi di M si dicono G-equivalenti se uno é l’immagine dell’altro mediante un elemento di G.

- Si dice che una funzione f con dominio in M é un invariante per il gruppo su una certa famiglia, se dati due elementi A e B della data famiglia per cui A é G-equivalente a B allora f(A) = f(B).

- Una classe di invarianti per il gruppo su di una famiglia si dice classificante se la coincidenza di essi determina l’equivalenza.

Definizione: - Il luogo di zeri di una funzione polinomiale di secondo grado in n variabili:

∑_{1≤i,j≤n} a_{j}^{i}x^{j}x_{i} + 2 ∑_{1≤i≤n} b_{i}x^{i} + c , ∑_{1≤i,j≤n} |a_{j}^{i}|^{2} ≠ 0

x^{t}Ax + 2b^{t}x + c , A ≠ 0_{n×n}

x̃^{t}Ã x̃ , x̃ = \binom{1}{x} , Ã = ( c ; \overline{b}| b^{t} ; \overline{A}) , A ≠ 0_{n×n}

si dice quadrica. Se n = 2 conica.

- Una quadrica si dice non degenere se detÃ ≠ 0.

Osservazione: le coniche (orbite piane) si ottengono intersecando un doppio cono simmetrico con un piano.

Osservazione: Poiché: ∑ a_{ij}x_{i}x_{j} = ∑ \frac{a_{ij}+a_{ji}}{2} x_{i}x_{j}, si assume che A, e quindi Ã, sia una matrice simmetrica; i.e. a_{ij} = a_{ji}.

Osservazione: si é identificato x ∈ ℝ^{n} con il sottospazio affine degli \binom{x^{0}}{x} ∈ ℝ^{n+1}

con la prima coordinata eguale ad 1: x^{0} = 1. Conviene quindi osservare che il gruppo affine su ℝ^{n} puó essere identificato con un sottogruppo, del gruppo lineare su ℝ^{n+1}, che agisce su tale sottospazio affine di ℝ^{n+1} nel seguente modo:

alla trasformazione affine x ↦ w + Nx su ℝ^{n} si associa l’azione della matrice:

( 1 \overline{w} | 0^{t} ; \overline{N} ) \binom{1}{x} = \binom{1}{w + Nx}

( 1 \overline{z} | 0^{t} ; \overline{P} ) ( 1 \overline{w} | 0^{t} ; \overline{N} ) = ( 1 ; \overline{z + P w} | 0^{t} ; \overline{P N} ) , ( 1 \overline{w} | 0^{t} ; \overline{N} )( 1 ; \overline{−N^{−1}w} | 0^{t} ; \overline{N^{−1}} ) = Id_{n+1}

Per scrivere la quadrica rispetto alle variabili y = −v + M^{−1}x, considerando che x̃ = ( 1 ; \overline{Mv}| 0^{t} ; \overline{M} )ỹ, si ottiene la polinomiale:

ỹ^{t} [( 1 \overline{0} |v^{t}M^{t} ; \overline{M^{t}} )( c ; \overline{b}| b^{t} ; \overline{A})( 1 ; \overline{Mv}| 0^{t} ; \overline{M} )] ỹ

II foglio di compendio alla teoria 12−16 novembre

CLASSIFICAZIONE AFFINE DELLE CONICHE

Ogni conica puó essere trasformata in una delle seguenti con un cambiamento di coordinate affine del tipo x ↦ w + Nx.

\begin{matrix}& & & detA > 0: \\ x^{2} + y^{2} − 1 = 0 & Ellisse reale & ◯ & rkÃ = 3, det Ã < 0; \\ x^{2} + y^{2} + 1 = 0 & Ellisse immaginaria (vuoto) & ∅ & rkÃ = 3, det Ã > 0; \\ x^{2} + y^{2} = 0 & Ellisse degenere (un punto) & · & rkÃ = 2. \\ & & & detA < 0: \\ x^{2} − y^{2} − 1 = 0 & Iperbole & ) ( & rkÃ = 3; \\ x^{2} − y^{2} = 0 & Iperbole degenere & \/ & rkÃ = 2, \\ & (rette incidenti) \end{matrix} \} A C E N T R O

detA = 0:
y^{2} − x = 0  Parabola  ⋃· rkÃ = 3, rkA = 1
y^{2} − 1 = 0  Parabola degenere  = rkÃ = 2, rkA = 1

(rette parallele)

y^{2} + 1 = 0  Parabola degenere (vuoto:  ∅ rkÃ = 2, rkA = 1

rette immaginarie separate)

y^{2} = 0  C. doppiamente degenere  − rkÃ = 1

(retta “doppia”)

Una famiglia di invarianti classificante é quindi data da sign(detA), rkÃ, rkA, sign(detÃ).

II foglio di compendio alla teoria 12−16 novembre

CLASSIFICAZIONE AFFINE DELLE QUADRICHE NON DEGENERI

Ogni quadrica non degenere puó essere trasformata in una delle seguenti con un cambiamento di coordinate affine.

rkÃ = n + 1
∑_{i=1}^{p}(x^{i})^{2} − ∑_{i=p+1}^{n}(x^{i})^{2} − 1 = 0  Tipo ellisse-iperbole detA ≠ 0

∑_{i=1}^{p}(x^{i})^{2} − ∑_{i=p+1}^{n−1}(x^{i})^{2} − x^{n} = 0 Tipo parabola  rkA = n − 1

QUADRICHE NELLO SPAZIO

detA > 0
x^{2} + y^{2} + z^{2} − 1 = 0 Ellissoide  rkÃ = 4, detÃ < 0
x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1 = 0 Ellissoide immaginario rkÃ = 4, detÃ > 0

(vuoto)

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0  Ellissoide degenere  rkÃ = 3, detÃ = 0

(un punto)

detA < 0
x^{2} + y^{2} − z^{2} − 1 = 0 Iperboloide iperbolico rkÃ = 4, detÃ > 0

ad una falda

x^{2} + y^{2} − z^{2} + 1 = 0 Iperboloide ellittico  rkÃ = 4, detÃ < 0

a due falde

x^{2} + y^{2} − z^{2} = 0  Iperboloide degenere  rkÃ = 3, detÃ = 0

(doppio cono)

detA = 0, rkÃ = 4
x^{2} + y^{2} − z = 0 Paraboloide ellittico rkA = 2
detÃ < 0
x^{2} − y^{2} − z = 0  Paraboloide iperbolico rkA = 2
(sella)  detÃ > 0
detA = 0, rkÃ = 3
x^{2} − y = 0  Paraboloide degenere rkA = 1

(cilindro parabolico)

x^{2} ± y^{2} ± 1 = 0  Cilindri su coniche non rkA = 2

degeneri con centro, eventualmente il vuoto

detA = 0, rkÃ = 2
x^{2} ± 1 = 0  Vuoto o piani paralleli rkA = 1
x^{2} ± y^{2} = 0  Retta o piani incidenti rkA = 2
detA = 0, rkÃ = 1
x^{2} = 0  Piano“doppio”  rkA = 1