Calcolo Differenziale ed Integrazione, compito del 30-04-2002.

NOME COGNOME

Matricola n. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 1

a) Si trovino le primitive della seguente forma differenziale: yzdx + xzdy + yxdz.

b) Sia γ una curva con sostegno definito dalle equazioni: \begin{cases}x^{3} + y^{3} + z + e^{z} = 2 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{cases} , e con

tangente nel punto (1, 0, 0) eguale a (0, 1, 0). Si calcoli:

∫_{γ} \frac{y}{x^{2} + y^{2}} dx − \frac{x}{x^{2} + y^{2}} dy − zdz

———————————————————————————————————————— Calcolo Differenziale ed Integrazione, compito del 30-04-2002.

NOME COGNOME Matricola n.

————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 2 Dire per quali valori α > 0, β > 0 le seguenti funzioni sono integrabili in senso generalizzato nei domini rispettivamente specificati:

a) \frac{1}{(|x|^{α} + |y|^{α})^{\frac{1}{α}}} , x^{2} + y^{2} ≤ 1;

b) \frac{1}{(|x|^{α} + |y|^{α} + |z|^{α})^{\frac{1}{α}}} , max\{|x|, |y|, |z|\} ≤ 1;

c) \frac{1}{(|x|^{α} + |y|^{α})^{β}} , |x| + |y| ≤ 1.

————————————————————————————————————————– Calcolo Differenziale ed Integrazione, compito del 30-04-2002.

NOME COGNOME

Matricola n. ————————————————————————————————————————– ESERCIZIO n. 3

Si provi la finitezza della misura dell’insieme \{ (x, y, z) : x^{2} + y^{2} ≤ e^{z} ≤ x^{2} + \frac{1 + e^{2z}}{e^{2z}} y^{2} \}. ————————————————————————————————————————–