Calcolo Differenziale e Integrazione, Anno Accademico 2001-2002, Matematica

Guasoni, Modica, Tortorelli

V foglio di esercizi dal 3 al 17 dicembre

ESERCIZIO 1 Sia f ∈ C^{1}(I), con I aperto. Dimostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:

i) f é positivamente omogenea di grado α (i.e. f(tx) = t^{α}f(x) per ogni x ∈ I).

ii) αf(x) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}f_{x_{i}}(x) per ogni x ∈ I.

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ESERCIZIO 2 Sia f : ℝ^{2} ↦ ℝ differenziabile ovunque e sia F : ℝ^{+} × ℝ ↦ ℝ definita da:

F (ρ, θ) = f(ρ cos θ, ρ sin θ)

Verificare che:

(F_{ρ}(ρ, θ))^{2} + \frac{1}{ρ^{2}} (F_{θ}(ρ, θ))^{2} = (f_{x}(x, y))^{2} + (f_{y}(x, y))^{2}

dove x = cos θ e y = sin θ.

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ESERCIZIO 3 Sia f : ℝ^{n} ↦ ℝ differenziabile ovunque e sia x_{0} tale che ∇f(x_{0}) ≠ 0. Dimostrare che la direzione u rispetto a cui:

\frac{∂f}{∂u}|_{x_{0}} = max \{ \frac{∂f}{∂v} |_{x_{0}} : v ∈ ℝ^{n}, ∥v∥ = 1\}

è data da u = \frac{∇f(x_{0})}{∥∇f(x_{0})∥}.

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ESERCIZIO 4 Sia T : ℝ^{2} ↦ ℝ^{2} una rotazione, cioè una applicazione lineare del tipo x ↦ Rx,

con

R = ( \begin{matrix}cos θ & sin θ \\ − sin θ & cos θ \end{matrix} )

Detto Δu = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}}, dimostrare che:

Δ(u ∘ R) = (Δu) ∘ R

per ogni u ∈ C^{2}.

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ESERCIZIO 5 Sia g = \frac{∂f}{∂y} − \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} . Dato il cambio di coordinate (u, v) = (x, \frac{x}{\sqrt{y}}), esprimere g(x, y) in funzione di u e v .

—————————————————————————————————————— ESERCIZIO 6 Determinare i punti critici delle seguenti funzioni:

i) x^{3} + (x − y)^{2} ii) x^{4} + (x − y)^{2} iii) xy + y^{2} − 3x iv) sin(x + y)

v) x^{2} − sin y vi) x^{3} + y^{2} − 6xy − 39x + 18y + 20 ——————————————————————————————————————

ESERCIZIO 7 Si dica se (0, 0) è di massimo, di minimo, o di sella per ciascuna delle seguenti

funzioni:

i) x^{4} + y^{4} ii) x^{4} − y^{4} iii) 1 − x^{4} − x^{2}y^{2} − y^{4} ——————————————————————————————————————

ESERCIZIO 8 Determinare minimo e massimo delle seguenti funzioni nei rispettivi insiemi:

i) xy  su  {x^{2} + y^{2} ≤ 1}
ii) x^{2} + y^{2} − (x + y)  su  {|x| ≤ 1, |y| ≤ 1}

iii)

∫_{√\overline{log(1+y^{4})}}^{x^{2}} e^{t^{2}}dt su \{|x| ≤ 1, |y| ≤ 1\}

iv)

\begin{cases}\frac{x^{2}y}{x^{2}+4y^{2}} + x & per xy > 0 \\ xy + x & per xy ≤ 0 \end{cases} su \{0 ≤ y ≤ 1, y^{2} − 1 ≤ x ≤ 1\}

—————————————————————————————————————— ESERCIZIO 9 Sia f(x, y) = 2x^{4} − x^{2}e^{y} + e^{4y}. Si calcolino l’estremo superiore e l’estremo

inferiore di tale funzione e se ne calcoli il limite per x^{2} + y^{2} → +∞. Si osservi che vi sono solo due punti di minimo assoluto e nessun altro punto critico. Si traccino approssimativamente le linee di livello f = c, al variare di c in ℝ, mettendo in risalto quali sono connesse, quali sono limitate. ——————————————————————————————————————

ESERCIZIO 10 Sia data un insieme di soppie (x_{i}, y_{i})_{1≤i≤N}. Determinare a e b in modo tale

che la funzione:

χ^{2}(a, b) = ∑_{i=1}^{N}(y_{i} − ax_{i} − b)^{2}

sia minima. Il minimo è assoluto o relativo?