\documentclass{article}

\usepackage[italian]{babel}

\usepackage{amsthm,amsmath}

\newtheorem{defi}{Definizione}
\newtheorem{teo}{Teorema}
\newtheorem*{prop}{Proposizione}

\DeclareMathOperator{\img}{im}

\title{corso di Laboratorio Multimediale:\\correzione degli elaborati\\della lezione 5}
\author{Gianni Ciolli\footnote{indirizzo email: {\tt ciolli@math.unifi.it}}}
\date{10 novembre 2003}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents

\section{Avvertenze}

Il presente documento contiene le correzioni degli elaborati in
formato \LaTeX\ a me spediti -- dopo la quinta lezione -- dagli
studenti del corso di Laboratorio Multimediale del Corso di Laurea in
Matematica, Universit\`a di Firenze, anno accademico~2003/04.

Le correzioni sono state raggruppate in un unico file, anch'esso
scritto in \LaTeX, che gli studenti sono tenuti a leggere; si
consiglia di esaminare anche il sorgente \LaTeX\ dello stesso file per
vedere quali costruzioni sono state usate.

\section{Lingua italiana}

Ci sono varie ragioni per informare \LaTeX\ della lingua che
intendiamo usare in un documento. La prima, pi\`u semplice, \`e che le
scritte automatiche (tipo ``Capitolo'', ``Riferimenti bibliografici'',
``Indice''\dots) vengono tradotte nella lingua stessa; l'altra ragione
consiste nella scelta delle regole di sillabazione, che differiscono
da lingua a lingua.

Per rispondere a tali esigenze, occorre utilizzare il pacchetto {\em
  babel}, con l'opzione {\em italian}:
\begin{verbatim}
\usepackage[italian]{babel}
\end{verbatim}

\section{Simboli matematici}
Notiamo innanzitutto che i comandi che producono un simbolo matematico
(ad esempio, \verb+\forall+) {\em devono} essere rinchiusi tra
dollari; altrimenti \LaTeX\ segnaler\`a un errore.

Le lettere usate come simboli nelle formule vanno sempre racchiusi tra
i ``dollari'', in modo da rappresentarle usando il carattere proprio
delle formule, che differisce da quello usato nel testo ``narrativo''.

\bigskip

{\sc Esempio giusto.} Sia $x$ un elemento di $A$, e sia\dots
\begin{verbatim}
Sia $x$ un elemento di $A$, e sia\dots
\end{verbatim}

{\sc Esempio sbagliato.} Sia x un elemento di A, e sia\dots
\begin{verbatim}
Sia x un elemento di A, e sia\dots
\end{verbatim}

Nelle formule si usano talvolta delle parole che hanno il significato
di un simbolo, e che sono dette {\em operatori}. Per esse esistono dei
comandi \LaTeX\ definiti ad hoc, come \verb+\ln+, \verb+\cos+\dots,
\verb+\mod+\dots; essi sono visualizzati con un carattere non corsivo,
che li distingue dalle variabili.

Per definire nuovi operatori non presenti nel \LaTeX (come ad esempio
``im''), si pu\`o usare il comando \verb+\DeclareMathOperator+, che va
nel preambolo. Ad esempio: la riga seguente
\begin{verbatim}
\DeclareMathOperator{\img}{im}
\end{verbatim}
definisce il comando \verb+\img+ che pu\`o essere usato come segue,
previo inserimento di 
\begin{verbatim}
\newtheorem*{prop}{Proposizione}
\end{verbatim}
nel preambolo:
\begin{verbatim}
\begin{prop}[Formula di Grassmann]
  Sia $\phi:V\to W$ un omomorfismo tra spazi vettoriali. Allora
  $$\dim\ker\phi+\dim\img\phi=\dim V\ .$$  
\end{prop}
\end{verbatim}
\begin{prop}[Formula di Grassmann]
  Sia $\phi:V\to W$ un omomorfismo tra spazi vettoriali. Allora
  $$\dim\ker\phi+\dim\img\phi=\dim V\ .$$  
\end{prop}



\section{Accenti}

L'accento \`e sostituito dall'apostrofo solo quando non \`e possibile
fare l'accento stesso, ad esempio quando si scrive in un file solo
testo e non si ha a disposizione un metodo per fare le lettere
accentate.

Una limitazione delle tastiere italiane \`e che non sono disponibili
le lettere accentate maiuscole; si \`e cos\`i affermato l'uso
dell'apostrofo in tali casi.

In \LaTeX, invece, non si usa l'apostrofo come sostituto dell'accento,
dato che \`e sempre possibile produrre qualsiasi lettera accentata.

\section{Formule matematiche}
Le formule matematiche possono essere in stile {\em inline}, come
$\frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1+2n}$, oppure in
stile {\em display}, come
$$\frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1+2n}\ ,$$
o equivalentemente
\[\frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1+2n}\ .\]
Se si ha bisogno di includere del testo in una formula, si usi il
comando \verb+\text+, definito dal pacchetto \texttt{amsmath}, come
nell'esempio seguente:
$$A=\{x\ |\ f(x^2)<5\ \text{per ogni}\ f\in G\}\ .$$


\section{Elenchi}
Gli elenchi numerati si realizzano con l'environment {\em enumerate},
come nell'esempio seguente.
\begin{enumerate}
\item primo elemento 
\item secondo elemento secondo elemento secondo elemento secondo
  elemento secondo elemento secondo elemento secondo elemento secondo
  elemento secondo elemento secondo elemento secondo elemento secondo
  elemento secondo elemento
\item III elemento
\end{enumerate}

Segue lo stesso elenco in versione non numerata, ottenuto con
l'environment {\em itemize}.
\begin{itemize}
\item primo elemento 
\item secondo elemento secondo elemento secondo elemento secondo
  elemento secondo elemento secondo elemento secondo elemento secondo
  elemento secondo elemento secondo elemento secondo elemento secondo
  elemento secondo elemento
\item III elemento
\end{itemize}

Tali elenchi possono annidarsi l'uno dentro l'altro, nel qual caso i
simboli e il tipo di numerazione cambiano automaticamente.
\begin{enumerate}
\item Primo capitolo
  \begin{enumerate}
  \item introduzione
    \begin{itemize}
    \item ricordarsi di scrivere all'autore
    \item finire entro il 13/11
    \end{itemize}
  \item la formula
    $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$
    \begin{itemize}
    \item tale formula si ottiene derivando la seguente
      $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$$
      \begin{itemize}
      \item la derivata si pu\`o fare rispetto ad $\alpha$
      \item la derivata si pu\`o fare rispetto a $\beta$
      \item se si fa la derivata rispetto a $\gamma$ si ottiene $0=0$.
      \end{itemize}
    \end{itemize}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Titolo, autore, data e intestazione}
Carattere e posizione del titolo e di altri elementi standard sono
scelti automaticamente da \LaTeX; pertanto si dovrebbe indicare
soltanto il testo.  Ci sono alcune eccezioni, tutte documentate
nell'esempio che segue.
\begin{verbatim}
\title{Aspetti stilistici e sintattici\\nell'uso del sistema
\LaTeX\\per l'impaginazione di documenti}
\author{Primo Autore\and Secondo Autore}
\date{\today}
\end{verbatim}
\begin{itemize}
\item Per evitare che il titolo venga spezzato in punti inopportuni,
  si pu\`o indicare esplicitamente lo spezzamento, utilizzando il
  comando \verb+\\+.
\item Nel caso di pi\`u autori va usato il simbolo \verb+\and+ per
  separare i nomi.
\item Se si vuole, al posto della data si pu\`o usare il comando
  \verb+\today+ che riporta in automatico la data odierna.
\end{itemize}

\section{Paragrafi}
Ciascun paragrafo termina con una riga vuota, o, equivalentemente, con
il comando \verb+\par+. Il paragrafo va terminato per motivi di tipo
logico, i.~e. alla fine di un ragionamento; se si deve andare a capo
solo per motivi estetici o tipografici, si usi il comando \verb+\\+
che va a capo senza iniziare un nuovo paragrafo.

\section{Enunciati, definizioni, esempi, dimostrazioni}
La visualizzazione di enunciati, definizioni, esempi et similia pu\`o
essere raggiunta efficacemente tramite il comando \verb+\newtheorem+,
definito dal pacchetto \texttt{amsthm}.  Ad esempio, ponendo nel
preambolo
\begin{verbatim}
\newtheorem{defi}{Definizione}
\end{verbatim}
e nel corpo del documento
\begin{verbatim}
\begin{defi}
  Una funzione $f$ si dice {\em decrescente in $[a,b]$} se, presi
  comunque $x_1,x_2$ tali che $x_1<x_2$, risulta
  $$f(x_2)>f(x_1)\ .$$  
\end{defi}
\end{verbatim}
si ottiene il seguente effetto:
\begin{defi}
  Una funzione $f$ si dice {\em decrescente in $[a,b]$} se, presi
  comunque $x_1,x_2$ tali che $x_1<x_2$, risulta
  $$f(x_2)>f(x_1)\ .$$  
\end{defi}
Si noti che non importa scrivere la parola ``Definizione'', perch\'e
viene aggiunta automaticamente.

Se un enunciato ha un nome, lo si pu\`o specificare nel modo seguente:
\begin{verbatim}
\begin{teo}[Pitagora]
  Sia $ABC$ un triangolo. Se $\widehat{A}$ \`e retto, allora
  $a^2=b^2+c^2$.
\end{teo}
\end{verbatim}
\begin{teo}[Pitagora]
  Sia $ABC$ un triangolo. Se $\widehat{A}$ \`e retto, allora
  $a^2=b^2+c^2$.
\end{teo}


Le dimostrazioni si possono trattare con l'environment
\texttt{proof}: il comando
\begin{verbatim}
\begin{proof}
  Sia $x\in X$. Allora $y\in Y$.

  Per quanto detto, ci\`o dimostra il teorema.
\end{proof}
\end{verbatim}
produce l'effetto seguente:
\begin{proof}
  Sia $x\in X$. Allora $y\in Y$.

  Per quanto detto, ci\`o dimostra il teorema.
\end{proof}
Anche qui si osservi che non occorre scrivere ``Dimostrazione''.

\section{Parentesi estensibili}
In una formula matematica, i comandi \verb+\left(+ e \verb+\right)+
producono delle parentesi tonde che si estendono automaticamente per
racchiudere adeguatamente il contenuto. Esempio:
\begin{verbatim}
$$(\frac{a}{b})\qquad\left(\frac{a}{b}\right)\ .$$
\end{verbatim}
produce
$$(\frac{a}{b})\qquad\left(\frac{a}{b}\right)\ .$$

Ovviamente questo metodo si applica a tutti i {\em delimitatori},
quali ad esempio le varie parentesi.

Le parentesi graffe si ottengono con i comandi \verb+\{+ e \verb+\}+,
dato che in \TeX\ i caratteri \verb+{+ e \verb+}+ hanno un diverso
significato.

Ogni \verb+\left+ deve avere il proprio \verb+\right+; se si vuole
visualizzare una sola parentesi, dall'altra parte si pu\`o usare il
punto, che rappresenta una parentesi invisibile. Ad esempio:
\begin{verbatim}
$$\left.\frac{f(x)}{g(x)}\right|_{x=0}$$
\end{verbatim}
produce
$$\left.\frac{f(x)}{g(x)}\right|_{x=0}$$

Nel caso particolare della parentesi graffa a sinistra, si pu\`o usare
l'environment \texttt{cases}, definito dal pacchetto \texttt{amsmath}.
Il codice
\begin{verbatim}
$$
|x|=
\begin{cases}
  x & \text{se $x\geq 0$;}\\
  -x & \text{altrimenti.}
\end{cases}
$$
\end{verbatim}
produce il risultato
$$
|x|=
\begin{cases}
  x & \text{se $x\geq 0$;}\\
  -x & \text{altrimenti.}
\end{cases}
$$

\section{Varie}
\subsection{Puntini di sospensione}
I tre puntini di sospensione si fanno con il comando \verb+\dots+ che
produce un risultato\dots esteticamente migliore di quanto si ottiene
scrivendo esplicitamente tre punti, vale a dire...

\subsection{Righe orizzontali}
\verb+\hrule+ produce una riga orizzontale larga quanto il testo.

\bigskip

\hrule

\bigskip

Righe pi\`u piccole possono essere ottenute come rettangoli di altezza
minuscola. Essi sono realizzati con il comando \verb+\rule+. La riga
seguente \rule{2cm}{0.5pt} \`e l'effetto del comando
\verb+\rule{2cm}{0.5pt}+.
\end{document}
