\documentclass[a4paper,italian]{article}
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\usepackage{graphicx}
\newcommand{\tthdump}[1]{#1}

\begin{document}
\title{Andare controvento in barca a vela}
\author{E. Paolini}
\date{24 gennaio 2001}
\maketitle
Dunque, innanzitutto ho trovato un interessante articolo che parla di
barche e di pesci. \`E un articolo di J.~E.~Taylor che si
occupa dello studio dei cristalli.

In questo articolo la Taylor riporta il grafico~\ref{fig1}, che
rappresenta la velocit\`a in funzione dell'angolo rispetto al vento,
di una tipica barca a vela. Questa curva viene chiamata ``polare''.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\tthdump{\includegraphics[scale=0.5]{sail1.eps}}
%%tth: \begin{html}<img src=sail1.gif>\end{html}
\end{center}
\caption{}
\label{fig1}
\end{figure}
Il grafico va interpretato cos\`\i. Il vento viene da nord. La
velocit\`a massima a cui puoi andare con la tua barca a vela dipende dunque
dalla direzione in cui ti vuoi muovere. Se $v$ \`e un vettore centrato
nell'origine e con la punta sulla curva, allora $v$ rappresenta la
velocit\`a massima che puoi raggiungere nella direzione individuata da
$v$.
Ad esempio da questo grafico si deduce che se vuoi andare a nord, o in
una direzione compresa tra le due righe tratteggiate, allora la tua
velocit\`a sar\`a zero. Per\`o se vai a nord-est o nord-ovest (a circa
$45$ gradi) hai una certa velocit\`a.

Le regate che ha fatto Luna Rossa si svolgevano in questo modo. Viene
fissata una boa di poppa, poi viene messa la boa di bolina
esattamente nella direzione da cui proviene il vento (diciamo nord).
Le barche devono
quindi andare dalla boa di poppa alla boa di bolina controvento (bolina), poi
girano attorno alla boa e ritornano alla boa di poppa col vento a
favore (poppa). Tutto questo viene ripetuto tre volte, ma ora non ci
interessa.

Il fatto \`e che se vuoi andare dalla partenza alla boa, non puoi a
nord (direzione del vento) perch\'e la tua velocit\`a sarebbe
nulla. Per avere una velocit\`a con la massima componente verticale
(controvento) devi andare nella direzione che ho segnato come
``direzione ottimale bolina'' (o la sua simmetrica rispetto all'asse
verticale) nella figura~\ref{fig2}.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\tthdump{\includegraphics[scale=0.5]{sail-2.eps}}
%%tth: \begin{html}<img src=sail-2.gif>\end{html}
\end{center}
\caption{}
\label{fig2}
\end{figure}

Dunque ti converr\`a muoverti sempre nelle due direzioni ottimali $A$
o $B$. In questo caso infatti non \`e la retta il percorso pi\`u breve
tra le due boe,
ma hai infinite possibilit\`a. Eccone alcune nel disegno~\ref{fig3}.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\tthdump{\includegraphics[scale=0.5]{sail-3.eps}}
%%tth: \begin{html}<img src=sail-3.gif>\end{html}
\end{center}
\caption{}
\label{fig3}
\end{figure}
Effettivamente nelle regate si
vedono percorsi di questo tipo. Le ``lay-line'' sono le due rette con
angolo ottimale che passano dalla boa, e che quindi non conviene superare.

Al ritorno, sceglierai la ``direzione ottimale poppa'' $C$ o $D$, che ti
permette di fare il percorso in meno tempo che andando sempre dritti a
sud. L'angolo ottimale di poppa \`e pi\`u stretto di quello di bolina,
come si ricava dalla prima figura. Tutto questo \`e confermato dalle
regate di Luna Rossa.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\tthdump{\includegraphics[scale=0.5]{sail-4.eps}}
%%tth: \begin{html}<img src=sail-4.gif>\end{html}
\end{center}
\caption{}
\label{fig4}
\end{figure}

Nota. Il fatto che le rette non siano (in questo caso) il percorso
pi\`u breve deriva dal fatto che il diagramma delle velocit\`a (la
prima figura) non \`e convesso. Ad esempio, normalmente (per un
veicolo a motore) il diagramma
delle velocit\`a sarebbe un cerchio, perch\'e ci si pu\`o muovere con
uguale velocit\`a in tutte le direzioni.

Ora per\`o la domanda cruciale \`e, come si ricava il primo grafico?
Come \`e possibile che ci si possa muovere con una velocit\`a che ha
una componente contraria alla direzione del vento (come hai visto non
ci si pu\`o muovere in direzione esattamente opposta a quella del
vento).

Proviamo a darne una spiegazione un po' semplicistica. Supporremo che
la vela sia esattamente piatta, e che la barca sia ferma. In realt\`a
il fatto che la vela non sia piatta (e che di vele ce n'\`e pi\`u
d'una) garantisce una spinta addizionale dovuta all'effetto ``ala''
(lo stesso che tiene in volo gli aerei). Questo effetto in certi casi \`e
addirittura preponderante rispetto alla pura spinta del vento ma essendo pi\`u
difficile da modellizzare lo tralasceremo. \`E a causa di questa
semplificazione che la ``polare'' che otterremo analiticamente non
presenta le due gobbe nel lato di poppa. L'altro effetto che
trascuriamo \`e quello del vento apparente. Infatti quando la barca
acquista una certa velocit\`a la velocit\`a reale del vento si compone
con la velocit\`a della barca risultando in un ``vento apparente'' che
tender\`a ad essere spostato verso prua e ad aumentare l'intensit\`a
(se si sta andando contro vento).

Mettiamo dunque di volerci muovere con direzione $\alpha$ rispetto al
vento. Dobbiamo decidere con che angolo $\beta$ orientare la vela rispetto
al vento.


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\tthdump{\includegraphics[scale=0.5]{sail-5.eps}}
%%tth: \begin{html}<img src=sail-5.gif>\end{html}
\end{center}
\caption{}
\label{fig5}
\end{figure}
Innanzitutto la pressione esercitata dal vento sulla vela \`e
proporzionale a $\sin \beta$. Dunque la vela eserciter\`a sull'albero
una forza $F$ con direzione perpendicolare alla vela e modulo
proporzionale a $\sin \beta$. D'altra parte, siccome la barca non si
pu\`o muovere lateralmente, ma solo in avanti (bisogna pensarla su una
rotaia), bisogna scomporre la forza $F$ e tenerne solo la componente
lungo la direzione $\alpha$. Ottieni dunque una spinta proporzionale a
$\sin\beta \sin(\alpha-\beta)$.

Ora, dato $\alpha$ bisogner\`a scegliere $\beta$ in modo da ottenere
la velocit\`a massima. Beh, basta fare la derivata rispetto a $\beta$,
per massimizzare la funzione:
\begin{eqnarray*}
        \frac{\partial}{\partial \beta}\sin\beta \sin(\alpha-\beta)
        &=&\cos \beta \sin(\alpha-\beta)-\sin\beta \cos(\alpha-\beta)\\
        &=&\sin((\alpha-\beta)-\beta)
        =\sin(\alpha-2\beta)=0.
\end{eqnarray*}
Il massimo si avr\`a dunque per $\beta=\alpha/2$, cosa piuttosto
plausibile.
Dunque con questo ragionamento si ottiene che la funzione velocit\`a massima
in funzione dell'angolo dovrebbe essere
        \[
        v(\alpha)=\sin^2(\alpha/2).
        \]
Se proviamo a fare un diagramma di questa funzione ottieniamo il grafico~\ref{figmath}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\tthdump{\includegraphics[scale=0.5]{sail-math.eps}}
%%tth: \begin{html}<img src=sail-math.gif>\end{html}
\end{center}
\caption{}
\label{figmath}
\end{figure}

Un'ultima considerazione che pu\`o chiarire forse ancor pi\`u le idee
\`e la seguente. Quando la barca si muove di bolina (controvento),
mentre la barca avanza contro vento, il piano che contiene la vela
viene invece spinto nella direzione del vento (figura~\ref{fig6}).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\tthdump{\includegraphics[scale=0.5]{sail-6.eps}}
%%tth: \begin{html}<img src=sail-6.gif>\end{html}
\end{center}
\caption{}
\label{fig6}
\end{figure}

\end{document}
