Puoi ottenere questo file anche in formato PostScript o PDF. Puoi anche guardare la conversione ottenuta con LaTeX2HTML.
Prospettiva e matrici
Prospettiva e matrici
E. Paolini
May 15, 2006
1 Introduzione
Quello che ci riproponiamo di fare è capire il meccanismo con cui un
oggetto tridimensionale può essere rappresentato su un foglio
tramite la tecnica della prospettiva. L'idea è in realtà molto
semplice, e trova riscontro nel funzionamento delle macchine
fotografiche e nell'occhio stesso.
Supponiamo di voler rappresentare su uno schermo un oggetto
tridimensionale che si trova dietro lo schermo. Quando non c'è lo
schermo il nostro occhio percepisce i raggi luminosi riflessi
dalla superficie dell'oggetto e che passano attraverso il nostro
cristallino.
Se vogliamo rappresentare sullo schermo l'immagine tridimensionale,
sarà quindi sufficiente ``proiettare'' l'oggetto sullo schermo, in
modo che un punto sull'immagine proiettata si trovi
sulla semiretta uscente
dall'occhio (punto di vista) e passante dal punto corrispondente
dell'oggetto reale.
Quello che ci prefiggiamo di trovare è, quindi, una formula che ci
permetta di trovare le coordinate della proiezione di un punto
proiettato sullo
schermo sapendo le coordinate del punto nello spazio.
2 Descrizione dei parametri
Innanzitutto dobbiamo fissare dei parametri che ci indichino la
posizione del punto di vista e la posizione dello schermo su cui
vogliamo proiettare l'immagine.
Rappresentiamo dunque lo spazio tridimensionale con R3. La
posizione del punto di vista sarà quindi semplicemente un punto
P0 Î R3. Lo schermo non è altro che un piano P di R3.
Tra i molti modi possibili per rappresentare P, risulterà molto
utile la rappresentazione parametrica:
|
P = {P0+Z+xX+yY x,y Î R}. |
|
P0 è il punto di vista, Z è il vettore di R3 che ha
come direzione la direzione in cui sto guardando e come modulo la
distanza del piano P dal punto di vista P0. X e Y sono due
vettori che giacciono sul piano P e che identificano un sistema di
coordinate sul piano stesso.
Dato dunque un punto P Î R3 dobbiamo semplicemente trovare le
coordinate (x,y) (rispetto alla base X,Y nel piano P)
dell'intersezione col piano P stesso, della semiretta r uscente da P0 e passante da P.
3 Il conto
La semiretta r può essere rappresentata in maniera parametrica da
Si tratta dunque di risolvere il sistema
P0+Z+xX+yY=P0+t(P-P0).
Definiamo M=(X Y Z) la matrice 3×3 i cui vettori colonna
sono i vettori X,Y,Z. In questo modo, il nostro sistema si scrive,
più semplicemente, come
|
M |
æ
ç
ç
ç
è
|
|
ö
÷
÷
÷
ø
|
= t (P-P0). |
|
Notiamo che se vogliamo che il piano P non sia degenere e non
passi per P0, allora i tre vettori X,Y,Z devono essere
indipendenti.
Questo significa che la matrice M è invertibile, e quindi,
moltiplicando il sistema a sinistra per la matrice M-1 e
dividendo tutto per t, si ottiene
|
|
æ
ç
ç
ç
è
|
|
ö
÷
÷
÷
ø
|
= M-1(P-P0). |
|
Se l'ultima componente del vettore M-1(P-P0) non risulta
strettamente positiva, significa che la semiretta r non interseca il
piano P in quanto il punto P si trova ``dietro''
l'osservatore. In caso contrario dall'ultima equazione si può
ricavare t e quindi le coordinate (x,y).
4 il caso ortogonale
Notiamo ora, però, che è molto naturale supporre che i vettori
X,Y,Z siano a due a due ortogonali tra loro. Questo significa
infatti da un lato che il piano P è perpendicolare alla
direzione in cui l'osservatore sta guardando, e dall'altro significa
che gli assi coordinati scelti sul piano P sono ortogonali.
Se v,w sono vettori, nel seguito indicheremo con v* il vettore
trasposto, con (v,w)=v* w il prodotto scalare di R3, con
v2=(v,v) il modulo quadro e con |v|=Ö{(v,v)} il modulo e con
[^v] = v/|v| il versore associato a v.
Una semplice verifica ci assicura che in queste ipotesi si può
trovare esplicitamente che la matrice inversa di M è data da:
infatti facendo il prodotto M-1 M si ottiene sulla diagonale i
prodotti dei vettori con se stessi, e fuori dalla diagonale si
ottengono i prodotti tra vettori diversi, che essendo ortogonali,
danno 0.
Dunque si ottiene esplicitamente la soluzione al problema:
da cui si ricava anche
In quest'ultima formula viene anche messo in evidenza il parametro
|Z| che rappresenta il fattore di ``zoom'' dell'immagine.
File translated from
TEX
by
TTH.
Ultima modifica: 15 05 2006
