Questo corso è un'introduzione all'Analisi Funzionale ed agli Spazi di Sobolev.

Il corso ha una durata di 72 ore (11 crediti).

Giovanni Alberti (https://people.dm.unipi.it/alberti/)

Bozhidar Velichkov (http://www.velichkov.it/)

Da settembre 2026 è attivo un servizio di tutorato.

I ricevimeniti si svolgeranno mercoledì pomeriggio (14:00-16:00), venerdì pomeriggio (14:00-16:00) oppure su appuntamento.

Gli studenti interessati possono contattare Filippo Paiano (filippo.paiano@phd.unipi.it).

Lunedì 16:00 - 18:00, martedì 16:00 - 18:00, mercoledì 09:00 - 11:00.

Scritto e orale.

Capitolo 1. Spazi di Banach, funzionali lineari continui, spazio duale, spazio biduale, spazi riflessivi, teoremi di Hahn-Banach. Gli spazi L^p ed i loro spazi duali: il duale di L^p nel caso ∞>p>1, il duale di L¹ è L^∞, il duale di L^∞ non è L¹.

Capitolo 2. Convergenza debole e convergenza debole-star. Proprietà della convergenza debole, limitatezza delle successioni debolmente convergenti, semincontinuità della norma. Lemma di Baire e teorema di Banach-Steinhaus. Topologia debole e topologia debole-star. Metrizzabilità della topologia debole. Teorema di Tychonoff e teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki. Spazi di Banach separabili e spazi duali separabili. Lo spazio L¹ non è uno spazio duale.

Capitolo 3. Spazi di Sobolev di funzioni di una variabile. Derivate deboli e definizione degli spazi W^1,p su intervalli. Gli spazi W^1,p(I) come spazi di Banach. Teorema fondamentale del calcolo integrale in W^1,p(I). Approssimazione con funzioni regolari. Somma, prodotto, modulo, inf e sup di funzioni di Sobolev. Teoremi di estensione. Limitatezza delle funzioni di Sobolev. Serie di Fourier. Applicazioni alla risoluzione di problemi ellittici e parabolici.

Capitolo 4. Spazi di Sobolev di funzioni di più variabili. Derivate deboli e definizione degli spazi W^1,p in dimensione N. Completezza degli spazi W^1,p. Approssimazione con funzioni regolari. Teoremi di estensione. Disuguaglianza di Poincaré. Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger. Teorema di Rellich. Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. Immersioni di Sobolev nel caso critico p=d. Lemma di Morrey e immersioni di Sobolev nel caso p>d. Formulazione debole di problemi ellittici. Equazione del calore su domini limitati. Operatori compatti su spazi di Hilbert. Teorema spettrale. Autovalori e autofunzioni del Laplaciano di Dirichlet.

Lezione 1 (B.V.) - mercoledì 23/09/2026, dalle 09:00 alle 11:00.
Introduzione al corso. Spazi di Banach e Hilbert, funzionali lineari continui su spazi di Banach. Definizioni ed esempi.

Lezione 2 (B.V.) - lunedì 28/09/2026, dalle 16:00 alle 18:00.
Funzionali lineari continui su L^p. Lemma di Clarkson.
Il duale di L^p è L^q : dimostrazione nel caso 2≥p>1.

Lezione 3 (B.V.) - martedì 29/09/2026, dalle 16:00 alle 18:00.
Il duale di L^p è L^q : dimostrazione nel caso p≥2. Esistenza e unicità della proiezione su un sottospazio chiuso di L^p nel caso p≥2. Funzionali lineari continui su L¹ associati ad una funzione L^∞ - definizione e calcolo della norma operatoriale. Il sup della norma operatoriale non è realizzato - esempi sulla retta reale e nel piano euclideo; una condizione generale sulla funzione L^∞ che determina quando la norma del funzionale associato viene realizzata.

Lezione 4 (B.V.) - mercoledì 30/09/2026, dalle 09:00 alle 11:00.
Il duale di L¹ è L^∞ - dimostrazione per domini di misura finita e per domini di misura infinita.
Teorema di Hahn-Banach I - esempi e applicazioni. Esistenza di un funzionale lineare di norma ≤1 che realizza la norma di un determinato vettore - esempio di non-unicità di questo funzionale in L¹ e di unicità in uno spazio di Hilbert.

Lezione 5 (B.V.) - martedì 6/10/2026, dalle 16:00 alle 18:00.
Teorema di Hahn-Banach I - estensione di un operatore lineare limitato - dimostrazione nel caso generale e nel caso di uno spazio separabile. Teorema di Hahn-Banach II - esistenza di operatore limitato che si anulla su un determinato spazio vettoriale chiuso. Lo spazio duale di L^∞ non è L¹ - dimostrazioni.

Lezione 6 (B.V.) - mercoledì 7/10/2026, dalle 09:00 alle 11:00.
Lo spazio duale di uno spazio di Banach è uno spazio di Banach. Sopazio biduale. Spazi riflessivi - definizione ed esempi - L^p è riflessivo, L^∞ e L¹ non sono riflessivi.

Lezione 7 (B.V.) - lunedì 12/10/2026, dalle 16:00 alle 18:00.
Convergenza debole in spazi di Banach. Convergenza debole-star nel duale di uno spazio di Banach. Convergenza debole in L^p. Successioni che traslano all'inifinito e successioni oscillanti.

Lezione 8 (B.V.) - martedì 13/10/2026, dalle 16:00 alle 18:00.
Compattezza debole-star delle successioni limitate nel duale di uno spazio di Banach separabile. Compattezza debole delle successioni limitate in L^p. Semicontinuità della norma rispetto alla convergenza debole: in L^p ed in uno spazio di Banach generico. Teorema di Radon-Riesz in L^p con dimostrazione nei casi p=2 e p>2. Le successioni debolmente convergenti sono limitate.